Материал: 2187

4xyy

x

2

y

2xy 2y

2

2x, откуда

y

2xy 2y2 2x

.

4xy x2

7. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:

С

x 2cost2;

y sint 3t.

Решение. Используем правило дифференцирования функции,

заданной параметр чески:

yx

yt

.

ние

xt

yx

(2cost2)

4tsint2

4tsint2

Получ м

.

cost 3

(sint 3t)

3 cost

31

x; x0

1;

8. Выч сл ть с помощью дифференциала приближённое значе-

выражен я 5 31.

Решен е.

Используем

приближённое

равенство

f (x) df (x) f (x) x, верное при малых значениях x . Откуда

f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x.

Преобразуем

сначала

исходное

выражение:

5

5

5

1

5

1

5

1

32

32

1

x

.

Производная равна f (x)

;

f (1) 1. Окончательно

32

55

x4

имеем

5

2(1 1 (

1

))

31

Д115.

31

32

16

16

9. Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y sin 2x в точке x0

.

И

3

Решение.

Запишем

уравнение

касательной

2

;

y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ).

В

нашем

случае f (x0 ) sin

3

2

3

f (x0 ) 2cos

2

1. Подставляем в уравнение y

3

x

, откуда

3

2

3

y x

3

– уравнение касательной.

3

2

С3 2

1

f (x0 )

(x x0 ). Под-

f (x0 )

ставив в это уравнен е числовые данные y

3

(x

), откуда

2

3

Найти

y x

3

– уравнение нормали.

10.

про зводную функции

y (sin x)sin x

с помощью ло-

бАcosx

гарифм ческого д фференцирования.

Решен е

y (sinx)sin x;

ln y ln(sinx)sin x;

y

(ln(sinx)

sin x

) ;

y

y

y (sinxlnsinx) ;

y y(cosxlnsin x sin x

sin x

И

(sin x)sin x 1(lnsin x ctg x).

11. Исследовать функцию иДпостроить ее график:

а)

y

x2 1

.

Ох точек пересечения нет, так как

y

x2

1

0; с осью Оу: при x =

x2 1

= 0; y 1.

2

2

С

4. Исследуем на непрерывность. Функция определена и непре-

рывна при всех х 1, поэтому

х 1 –

точки

разрыва графика

функции. Определим характер разрыва (род). Для этого вычислим од-

1:

и

x

2 1

x

2

1

lim

и

lim

;

x 1 0 x

1

x 1 0 x

1

0;

x

2

1

x

2

1

lim

x

2

и

lim

2

.

x 1 0

1

x 1 0

x

1

x2 1

x

x

x

x

x

x3 x

2

1

1

1 0

2

b

lim y(x) kx

lim x

1 0

lim

x

1.

x

2Д

x x

1

x

1

1 0

1

x2

Итак, y 1 – горизонтальная асимптота.

Наклонных асимптот

x2

1

2x x2

1 2x x2 1

4x

y

;

2

2

x

2

1

2

x

x2 1

1

4x

y

0

x2 1 2 0 x 0.

тац

онарная кр тическая точка x 0.

и

Внесем данные в табл. 4.

С

Таблица 4

; 1

1;0

y

+

2

+

0

–

y

Возрастает

Возрастает

Убывает

При x 0;1 1;

–

у ывает. При

x ; 1 1;0 –

Экстремум функции ymax 1.

7. Находим

интервалы

выпуклости и точки перегиба графика

функции.

приравняем ее к нулю:

Д

2

x

x 1

2 x 1 2x x

3x 1

4

4

4

4

.

1

1

1

y

0 точек перегиба нет.

И

Внесем данные в табл. 5.

Таблица 5

1;1

y

+

–

+

y

Вогнутый

При

x 1;1

график

функции

выпуклый, при

x ; 1 1;

график функции вогнутый.

тикальные асимптоты х 1,

горизонтальную асимптоту

y 1 и от-

метив точку экстремума (0, –1).

С

и

Д

Рис. 72

y

ln x

.

x

И

Решение