Материал: 2187

lim

2x2

sin x ~ x,x 0 lim

2x2

2

.

25

x 0 sin2 5x

x 0 (5x)2

ж)

lim

cosx

.

С

x

x

2

2

0

Решен е.

0

.

Чтобы раскрыть её, как и в предыдущем задании, приведём данную

дробь к в ду, который допускал бы применение первого замеча-

тельного предела lim sin x 1. Введём подстановку t

x.

Заме-

x 0

x

2

, что t 0

при x . Получим

2

тим

cos(

t)

limsint 1.

lim

cos x lim

2

x

t 0

t

t 0 t

x 2

2

x 2 x

з)

lim

.

x x 2

Решение. В данном случае имеем неопределённость

вида 1 .

виду, который

допускал

бы

применение

второго

замечательного

предела

lim(1

1

)x e.

x

x

x 2

4

x

Д

x 2

x

x

x

4

x 2

x 2 4

4

1

lim

lim

x 2

lim 1

x 2

lim

1

x 2

x x 2

x

x

x

4

x 2

И

4

4x

1

lim

lim 1

e

=ex x 2 e 4 .

x

x 2

4

2 x

и)

lim 1

.

x 3

x

что в

данном

случае

x 3,

поэтому нет необходимости

использовать

второй

замечательный

С

предел, поскольку нет неопределённости

вычислен непосредственно.

2

x

2 3

5 3

125

.

lim 1

1

единице

3

3

27

x

3

x

1

к)

lim 5x 1.

x 1 0

Решен е.

Прежде

всего,

заметим, что если

x

стремится к

слева,

то

x 1

удет

принимать

близкие

к нулю

отри-

цательные значен я

выражение

1

, очевидно, стремится к .

x 1

1

1

1

5

1

Тогда

lim 5

x 1

5

1 0 1

5

0

0.

5

x 1 0

3.

Исследовать функцию на непрерывность. Установить

тип

этих

точек.

x2 3x

И

a) f (x)

.

x2 4x 3

Допределения данной аналитической

Решение.

Найдём область

функции.

D( f ):( ;1) (1;3) (3; ). Имеем

две

точки

разры-

ва:x1 1

и x2

3.

Определим,

каков характер разрыва функции в

каждой из

этих точек.

Точка

x1 1 является точкой бесконечного разрыва (второго

рода), так как

lim

x2 3x

2

;

lim

x2

3x

2

.

0

0

x 1 0 x2 4x 3

x 1 0 x2 4x 3

Точка x2 3 является точкой устранимого разрыва,

так как

lim

x2 3x

lim

x(x 3)

lim

x

3

1,5.

2

x 3 x2 4x 3

x 3 (x 1)(x 3)

x 3 x 1

Окончательный

ответ:

функция непрерывна

при

x ( ;1) (1;3) (3; );

точка x1 1 является точкой бесконечного

разрыва; точка x2 3 является

точкой

устранимого разрыва.

Изобразим график функции (рис. 70).

и

y

С

1,5

бА

0

1

3 x

Рис. 70

x 1,

x 3;

б) f (x)

x 3.

3 x,

Решение.

тарной. Найдём ее область определения: D( f ):( ;3) [3; ).

Функция может иметь разрыв только в точке, где меняется ее анали-

тическое выражение, т.е. в точкеДx 3. В данной точке имеем

lim f (x)

lim (x 1) 2; lim

f (x)

lim (3 x) 0.

x 3 0

x 3 0

x 3 0

x 3 0

Таким образом, в

точке x 3

lim f

(x) f (3) lim f (x), т.е.

x 3 0

x 3 0

функция в точке x 3 имеет разрыв 1-го рода и непрерывна справа,

скачок функции

2 0

2.

функция

непрерывна

Окончательный

ответ:

приx ( ;3) [3; );

точка x 3

является точкой

неустранимого

y

С

2

3

x

-1

1

ращению

4. Выч сл ть пр ращение функции f (x)

в точке x0 1, со-

x2

ответствующее пр

аргумента x 0,02.

Решен е.

Воспользуемся формулой

f (x) f (x) f (x0 ) f (x0 x) f (x0 ).

Для данной функции получим

f (x)

1

1

1

1

0,0404

101

.

(1 0,02)

2

2

1

1,0404

1,0404

2601

Д

5. НайтибпроизводныеАфункций:

а)

y

ex 2

х

И

2

.

Решение.

Используем правило вынесения постоянного множи-

теля за знак производной и правило дифференцирования разности:

x

2

x

1

1

e

x

2

x

ln2

e

x

х

x

х

.

y

e

2

e

2

ln2

2

2

2

2