Материал: 2187

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

f(x) – f(x0) = f (c)(x – x0).

Таким образом, формула Тейлора является обобщением формулы Лагранжа (конечных приращений).

Если в формуле Тейлора (8) положить x0 = 0, то получим форму-

лу, называемую формулой Маклорена

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x) = f(0) +

 

 

f (0)

x +

 

f (0)

x2 + ... +

 

 

f (n)(0)

xn + Rn(x),

(12)

1!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n!

 

 

 

 

 

спользование

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n 1)

 

x)

 

 

n+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сf (

 

x

,

(0 <

< 1) – остаточный член в форме

где Rn(x) =

(n 1)!

 

 

 

 

Лагранжа.

бА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пр меры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотр м

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формулы Тейлора. Найдем разложе-

ние некоторых элементарных функций по формуле Тейлора, причем

возьмем x0 = 0 (то есть выпишем формулы Маклорена для этих функ-

ций).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. f(x) = e x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как f (x) = ex;

f (x) = ex;

 

 

...; f (n)(x) = ex

и f(0) = 1;

f (0) = 1,

f (0) =1;

...; f (n)(0) = 1, то по формуле Маклорена (12) получаем

ex = 1 +

x

+

x2

 

+ ... +

xn

 

 

+

 

xn 1

e x;

0 < < 1.

(13)

 

 

 

 

n!

 

(n 1)!

 

 

1!

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

Если |x| < 1, то при n = 8 получаемДR8 < 3 < .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9!

10

5

 

Вычислим теперь приближенно значение числа e и оценим по-

грешность приближения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 1; n = 8, получаем

 

Используем формулу (13) при

 

e

 

1 + 1 +

1

+

 

1

+

1

+

1

+

1

+

1

+

1

2,71828,

 

 

 

 

 

2!

 

 

3!

 

4!

 

 

5!

6!

7!

8!

 

 

 

причем погрешность R8(1) не превосходит 0,00001.

171

2. f (x) = sin x.

Решение

Найдем производные до (n + 1)-го порядка для функции f (x) = sinx и значения производных при x= 0:

С

f(x) = sinx;

f(0) = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = cos x = sin (x + /2);

f (0) = 1;

 

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

(x) = –sin x = sin (x + 2 /2);

f

(0) = 0;

 

 

 

 

f (x) = –cos x = sin(x + 3

/2);

f (0) = –1;

 

 

 

бА

 

 

 

 

 

 

 

f

(4)(x) = sin x = sin (x + 4

/2);

f (4)(0) = 0;

 

 

 

 

 

f (n)(x) = sin(x + n / 2 );

 

 

 

f (n)(0) = sin

n

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Итак,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если n = 2 m; m N, то f (2m)(0) = 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если n = 2m + 1, то

Д

 

f (2m+1)(0) = (–1)m,

 

 

 

 

 

 

 

 

поэтому, используя формулу Маклорена (12), получим

 

 

 

x3

 

 

 

x5

 

x2m 1

 

 

И

 

 

 

 

 

m

 

 

 

m+1

 

x

2m 3

 

sin x = x –

3!

+

 

5!

– ... + (–1)

(2m 1)!

+ (–1)

 

 

 

 

 

 

cos x.

(14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2m 3)!

 

3. Для функции

f(x) = cos x можно аналогично получить сле-

дующую формулу Маклорена:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

x4

 

m x2m

 

 

 

m+1

 

 

x2m 2

 

сos x = 1 –

 

 

 

+

 

 

– ... + (–1)

 

 

 

 

+ (–1)

 

 

 

 

 

cos x .

(15)

 

 

 

 

 

(2m)!

 

 

 

 

 

 

2!

 

4!

 

 

 

 

 

(2m 2)!

 

Поскольку x R: |cos x| < 1, то получим оценки остаточных членов в формулах (14) и (15):

172

R x

 

 

| x |2m 3

 

[по формуле (9)];

 

 

 

n

 

 

(2m 3)!

 

 

 

 

 

С

 

R

x

 

 

|

x|2m 2

 

[по формуле (11)].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

(2m 2)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Выч сл ть пр ближенно sin 20o с точностью до 0,0001.

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решен е. Используем формулы (8), (9) при x = 20o =

 

и взяв

2 члена разложен

я:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

бА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

 

 

 

 

 

 

sin

9

 

 

 

 

 

–

 

9

 

6

= 0,3420;

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|Rn| <

 

 

5!

 

0,0001.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи для самостоятельного решения

1.

Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = cos x [фор-

мулу (15)].

2.

Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = ln (1+ x).

3.

Построить формулу Тейлора для функции f(x) = e x при x 1.

4.

Разложить функцию f xДcos3x по формуле Тейлора при

x

 

.

И

 

6

 

5.Вычислить приближенно cos 40o и оценить погрешность вычисления, взяв два слагаемых в формуле (8).

6.Вычислить приближенно sin 47o . Оценить погрешность вы-

числения.

7. Вычислить приближенно ln1,27 и оценить погрешность вычисления.

173

 

 

Вопросы и задания для самопроверки к разделу II

 

 

([1,2,3,4,5,6,7], прил. 6)

1.

Дайте определение производной.

 

2.

Поясните геометрический, физический смысл производной.

С

 

 

3.

Какой физический смысл у второй производной?

4.

Напишите уравнение касательной.

 

5.

Какое уравнен е имеет нормаль к кривой?

6.

 

формул руйте основные свойства производной.

ски

 

 

7.

Знаете ли вы производные элементарных функций?

8.

Как наход тся производная сложной функции?

9.

Пр вед те пр мер нахождения производной от функции, за-

данной неявно.

 

 

10.

бА

Как найти про зводные от функций, заданных параметриче-

?

 

 

 

 

11.

Что такое логарифмическое дифференцирование?

12.

Что такое про зводные высших порядков?

13.

Дайте определение и свойства дифференциала функции.

14.

Какой геометрический смысл у дифференциала?

15.

Какие формулы при лиженных вычислений с помощью

дифференциала вы знаете?

 

 

16.

Как находятся дифференциалы высших порядков?

17.

Поясните, как производят нахождение области определения

функции, проверка четности, нечетности, периодичности.

18.

Как находятся асимптоты функции: горизонтальные, верти-

кальные, наклонные?

 

 

19.

В чем заключается исследование функции с помощью пер-

 

 

 

 

И

вой производной? Как находят промежутки монотонности, экстрему-

мы?

 

 

Д

20.

Что дает исследование функции с помощью второй произ-

водной?

Укажите схему нахождения промежутков выпуклости, во-

гнутости, точки перегиба.

 

 

21.

Как можно найти эктремумы функции с помощью второй

производной?

 

 

22.

Укажите схему нахождения наименьшего и наибольшего

значений функции на отрезке.

 

 

23.

Сформулируйте правило Лопиталя вычисления пределов.

24.

Как выглядят формулы Тейлора и Маклорена?

25. Напишите формулы остаточного члена формулы Тейлора.

174

Тесты по разделу «Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной»

1.

 

На рис. 53 изображен график производной функции y f (x),

заданной на отрезке [– 2,7]. Тогда точкой локального минимума этой

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функции является…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

бА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 53

 

0;

 

 

 

–2;

2;

7.

 

 

 

 

 

 

2.

 

График функции y f (x) изображен на рис. 54. Тогда значе-

ние производной этой функции в точке x0

равно…

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 54

И

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

;

 

 

 

 

;

 

 

 

 

3

3

3

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

3. График функцииy f (x) изображен на рис. 55. Тогда значение производной этой функции в точке x0 равно…

175

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11
:Конвергентный подход к проектированию дополнительных общеобразовательных общеразвивающих программ