Материал: 2187

b lim

( f (x) k x) lim(3

6x2 x3

x) 2,

x

x

значит,

y x 2 – наклонная асимптота.

Горизонтальных асимптот нет, так как есть наклонная.

5. Первая производная имеет вид

y

x(4 x)

.

2

и

(x2 (6 x))

3

Реш м уравнен е

0

и найдём критические точки

2

С

(x2 (6 x))

3

первого рода:

x1 0:

y не существует в этой точке, но меняет знак при

( )

= 0– точка мини-

y 0

мума (особый экстремум);

x2 4:

y 0 в этой точке и меняет знак при переходе че-

– точка максимума;

x3 6:

y не существует в этой точке, не меняет знак при

переходе через точку, значит, экстремума в этой точке нет.

Д

6.

Вторая производная равна y

8

.

4

5

x

3

(6 x)

3

Решим уравнение

8

0

и найдём критические точки

4

5

x

3

(6 x)

3

второго рода:

y не существует в этой точке,

x3 6:

меняет знак с ми-

( )

6 = 0 – точка пе-

региба;

x1 0: исследована выше.

И

и

Рис. 52

С

§ 11. Прав ло Лопиталя

бА

0

).

0

Пусть функц f(x), g(x) определены, непрерывны и дифферен-

цируемы в точке x0

некоторой ее окрестности, причем g'(x) 0 для

любого x из этой окрестности, и пусть f(x), g(x) – бесконечно малые

при x x0.

Если предел

lim

f (x)

существует,

то существует и

g (x)

x x0

предел lim

f (x)

, причем

Д

x x0

g(x)

lim

f (x)

=

lim

f (x) .

x x0 g(x)

x x0

g (x)

Прием вычисления пределов, основанный на теореме Лопиталя,

называется правилом Лопиталя.

И

Пример

1 cos3x

Найти предел

lim

.

x 0 2x

g(x) = 2x удовле-

Решение. Поскольку функции f (x) =1 – cos3x;

творяют условию теоремы Лопиталя, то

lim

1 cos3x

= lim

(1 cos3x)

= lim

3sin3x

= 0.

2x

x 0

x 0

(2x)

x 0 2

ленности вида

. Неопределенности 1 ;00

; 0 ; и другие

С

0

или

, а затем приме-

нить правило Лопиталя.

0

Пр мер

lim x2 ln x.

Найти предел

x 0

x 0 1/ x2

x 0

Решен е. Так как limln x = , то имеем неопределенность типа

x 0

lnx

(0 ). Преобразуем ее к

:

lim x2ln x (0 )= lim

.

бАx 0

Теперь пр мен м правило Лопиталя:

lnx

(lnx)

1/ x

x2

lim

2

=

lim

= lim

3

= lim

= 0.

x 0 1/ x

x 0 1/ x2

x 0

2/ x

x 0

2

Итак, lim x2 ln x = 0.

Д

2. Правило Лопиталя можно применять несколько раз при вы-

числении одного предела.

И

Пример

ln x

Найти предел lim

.

x 0 ctgx

Решение. При x 0 и x > 0

limln x = ; limctg x = , следова-

x 0

x 0

тельно, имеем отношение двух бесконечно больших при x 0+ и не-

определенность вида

. Вычислим предел по правилу Лопиталя:

lim

ln x

= lim

1/ x

= –lim

sin2 x 0

=

1 sin2

x

0

x 0

ctgx

x 0

x

x 0

Pn(x) = Pn(x0) +

P (x

0

)

(x – x0) +

P (x

0

)

(x – x0)2 + ... +

P

(n)

(x

)

(x – x0) n.

n

n

n

0

2!

1!

n!

С

Если для некоторого x остаточный член Rn(x) достаточно мал, то

формула Тейлора дает приближенное значение для функции f (x):

f (x) Pn(x),

оценки

при этом погрешность этого приближения равна остаточному члену

Rn(x).

остаточного члена Rn(x)

Для

используются различные

формулы, одна

з

х называется

формой Лагранжа и имеет вид

Rn(x) =

f

(n 1)

(с) (x – x0) n+1,

(9)

(n 1)!

число

– заключено между 0 и 1:

0 < < 1. Тогда формула остаточного

члена примет вид

Д

f (n 1)(x

(x x

))

(10)

Rn(x) =

0

0

(x – x0) n+1.

(n 1)!

И

Еще одна формула для Rn(x) называется формой Коши и имеет

вид

Rn(x) =

f (n 1) (x

0

(x x

0

))

(x – x0) n+1(1 – ) n,

(11)

n!

где удовлетворяет неравенству 0 <

< 1.