Материал: 2187

1

18

1

0, поэтому x

является точкой локального

y

2

1

3

2

1

2

максимума.

С

x3

2.

Исследовать функцию y

3

помощью второй про зводной.

условие

y x2

4x

3

реш м уравнение y x2 4x 3 0. Корни этого

уравнен

я x1 1; x2

3 – критические точки 1-го рода, в которых мо-

гут быть экстремумы функции, так как в них выполнено необходимое

экстремума.

бА

симума;

x2 3 – точка минимума. Вычислим значения функции в

точках экстремума:

ymax y 1 21;

ymin y 3 1.

Д

2

III.

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки пе-

региба

График дифференцируемой функции

f (x) называется выпук-

лым (выпуклым вверх) на Х, если он расположен ниже любой своей

касательной на Х(рис. 48).

f (x) называется вогну-

График дифференцируемой функции

тым (выпуклым вниз) на Х, если он расположен выше любой своей

касательной на Х (см. рис. 48).

И

функции y f (x) имеет перегиб в точке с. Если функция y f (x)

имеет непрерывную вторую производную, то f (c) 0.

Доказательство. По условию,

функция y f (x) в точке с ме-

няет направление выпуклости, то есть слева и справа от точки пере-

С

гиба с вторая производная

вторая производная

промежуточных

значениях

непрерывной

функции, получаем, что

f

(c) 0.

перегиФункц я y x

ов не имеет, но при этом вторая произ-

Замечан я

1. Возможно,

f (c) 0. При этом точка с не о язательно является точкой перегиба.

Пр мер

4

водная равна нулю при x 0:

12 x2

0

при x 0.

y x4

4 x3

вторая производная не определена.

Функция y 3

x

определена на всей числовой оси. Вторая про-

1

2

2

1

И

изводная y

x

3

x

9

53

не определена при x 0,

Дx

но при этом вторая производная слева и справа от x 0 принимает

Точка x с

имеет место одно из условий:

f (c)

0; f (c) или

f (c) не существует.

Точки перегиба следует искать

среди критических точек 2-го

рода.

С

является точкой перегиба.

Пр мер

числим

Определ ть

ба граф ка функц

y = x2 e –x.

Решен е.

вторую про зводную функции f (x) = x 2 e –x:

бА

f ' (x) = 2 x e –x – x 2 e –x;

f '' (x) = 2e–x – 2xe–x – 2xe–x + x2e–x = e–x (2 – 4x + x2).

Найдем значения x, при которых f (x) = 0 и интервалы знако-

постоянства второй производной

f (c) :

f (x) = 0, e–x (2 – 4x + x2)= 0.

Д

уравнения:

x1= 2 –

x2 = 2 +

2

3,41.

И

Значения функции f (x) в точках x1, x2:

y1 = f (x1) 0,34

и y2 = f (x2) 0,38.

Таблица 2

2

2

2)

2

f (x)

f (x) < 0

f (x

2

) =0

1

f (x)

Кривая

Кривая

вогнутая

выпуклая

точка

Наибольшее M и наименьшее m значения функции y f (x) на

отрезке находятся по плану:

С

1. Найти критические точки первого типа.

2.

Выбрать те критические точки первого типа, что принадлежат

данному отрезку.

3.

Выч сл ть значения функции на концах отрезка и в выбран-

Найти

ных кр т ческ х точках.

4. Из всех найденных значений выбрать самое большое – это M

и самое малое – это m.

Пр мер

на

ольшее

и

наименьшее

значения функции

y x

3

3x

2

1 на

1;4

(рис. 50).

Д

Рис. 50

И

1.

Вычисляем производную y 3x2

6x, затем решаем уравне-

ние 3x

2 6x 0;

x

0; x

2

2 – нашли критические точки пер-

1

вого рода.

2.

x1 ; x2 1;4 . Обе критические точки принадлежат данному

отрезку.

3.

Находим значения функции на концах отрезка и в критиче-

ских точках:y( 1) 3;

4.

yнаибольшее(4) 17;

yнаименьшее( 1)

y(2)

3.