Материал: 2187

Скачать

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

y 4x 1 0 при x 1 ; 4

y 4x 1 0 при x 1 . 4

С

 

 

1

 

 

Итак, функция возрастает на интервале

 

 

4

;

, функция

 

 

 

 

 

 

 

1

 

убывает на нтервале ;

 

.

4

 

 

 

если

 

II. Локальный экстремум

Пусть функц я f (x) определена на промежутке X и c X .

Говорят, что в точке c

функция f (x) имеет локальный максимум,

существует такая окрестность точки c, что для любой точки x из этой окрестности выполняется неравенство f (x) < f (c) (рис. 46, а).

Точка c называется точкой локального минимума, если существует такая окрестность точки c, что для любого значения x из этой окрестности верно условие f (x) > f(c) (рис. 46, б).

Точки локального максимума и минимума называются точками

экстремума.

Д

Замечание. Точки экстремума всегда являются внутренними

точками промежуткабА, то есть не могут совпадать с его концами.

 

И

f c f x

f c f x

а

б

 

Рис. 46

151

Точки локальных максимумов и локальных минимумов имеют общее название экстремумы.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если дифферен-

цируемая в точке x c функция

y f (x) имеет экстремум в этой

точке, то f (c) 0.

 

Доказательство. По условию, функция y f (x) имеет в точке x c экстремум. По определению экстремума, это значит, что у точки

с существует окрестность, для всех точек которой

f c является наи-

больш м

ли на меньшим. Применим теорему Ферма к этой окрест-

ности.

По услов ю,

так как производная в точке с существует, то

С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (c) 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечан я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Обратное

 

 

 

неверно. То есть производная функции

в некоторой точке может равняться нулю, но эта точка может не быть

точкой экстремума.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

утверждение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пр мер

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функц я y x3

экстремумов не имеет, однако ее производная

y 3 x2

0

равна нулю при x 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Функция может иметь экстремум и

 

в точке, в которой произ-

водная не определена или равна

есконечности.

 

Пример

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция y

x

 

имеет локальный минимум при x 0. При этом

в точке x

бА

ействительно,

0

производная функции не определена.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 x

 

 

 

0

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 0 lim

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

Точка x c называется критической точкой 1-го рода при вы-

полнении одного из условий:

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

f

 

(c) 0;

f

 

(c)

или f

 

 

(c)

 

 

 

 

 

 

 

 

не существует.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция y f (x) непрерывна, дифференцируема во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x c, за исключением, возможно, самой точки c. Если при переходе аргумента через критическую точку с

152

первая производная меняет знак, то данная критическая точка 1-го рода является точкой экстремума.

Если f (c) при переходе аргумента слева направо через крити-

ческую точку 1-го рода x c меняет знак с плюса на минус, то функ-

ция в этой точке имеет локальный максимум, а при перемене знака с

С

локальный минимум (рис. 47).

минуса на плюс –

Знак

f (c)

 

 

и

 

Поведен е

 

 

функц

y f (x)

 

бА

 

 

 

Рис. 47

Доказательство теоремы использует признак монотонности.

Пр мер

 

 

Исследовать

на монотонность и экстремумы функцию

f (x) x2e x .

Решение. Данная функция определена и непрерывна на всей чи-

словой оси.

Найдем производную:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

Д

 

f (x) 2xe

 

x

 

 

e

xe

(2 x).

 

 

 

Тогда

f (x) 0 при x1 = 0 и x2 = 2. То есть x1 , x2– критические

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

точки 1-го рода. Эти точки разбивают всю числовую ось на три ин-

тервала: (– ; 0), (0; 2), (2; + ). Составим табл. 1, в первой строке

которой поместим указанные точки и интервалы, во второй строчке –

сведения о знаках и нулях производной

f (x) в критических точках

и на интервалах, а в третьей – информацию о возрастании, убывании,

экстремумах данной функции f (x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 1

x

( , 0)

x1 = 0

 

 

 

 

(0, 2)

 

x2 = 0

 

(2, )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

f (x) < 0

0

 

 

 

 

f (x) > 0

 

0

 

 

f (x) < 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ymin (0) 0

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

f (x)

Убывает

 

 

Возрастает

ymax(2)

 

 

Убывает

 

 

 

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

153

Делаем выводы о поведении функции f (x):

на интервалах (– ; 0), (2; + ) функция f (x) убывает;

на интервале (0; 2) – возрастает;

x1 = 0 является точкой минимума, причем ymin(0) 0;

С

 

 

4

 

 

x2

= 2 – точка максимума и

ymax(2)

 

0,54.

 

 

 

 

 

 

 

e2

Теорема (достаточный признак существования экстремума,

основанный на второй производной). Пусть x c – критическая

симума

f (c) 0. Тогда

точка для функц

y f (x), причем

а) если

f

 

(c) 0, то x c – точка локального минимума;

б) если

f (c) 0, то x c – точка локального максимума.

Доказательство. По условию,

f (c) 0. Пусть для определен-

ности

бА

f (c) 0. Покажем, что x c является точкой локального мак-

.

По определен ю второй производной, имеем равенство

f (c) lim

f c x f c

 

lim

f c x

.

x

 

 

x 0

 

x 0

 

x

Так как f (c) 0, то предел lim

f

c x

0, поэтому су-

 

 

 

Д

 

x 0

 

x

 

 

 

ществует некоторая окрестность точки x c, во всех точках которой

верно неравенство f c x 0.

x

Из этого неравенства получаем, что если x 0, то f (c x) 0, что означает, что слева от точки с функция y f (x) имеет положительную производную, то есть функция возрастает.

Если x 0, то f (c x) 0, что означает, что справа от точ-

ки с функция y f (x) имеет отрицательную производную, то есть

функция убывает.

И

Получили, что при переходе через точку c слева направо знак

первой производной меняется с + на – . По признаку существования

экстремума это означает, что в точке

x c функция y f (x) имеет

локальный максимум.

 

154

Примеры (видео 5)

1.Найти точки экстремумов функции y 4 x2 x 4.

x1

Решение. Функция не определена при x = 1. Найдем критические точки 1-го рода:

 

 

 

 

 

4 x2 x 4

 

 

8x 1 x 1 1

4 x2 x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

и

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С4 x 8 x 5

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Первая про зводная равна нулю при x2 2x

5

0, то есть при

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

5

;

x

 

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдем теперь вторую производную:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 x2

8 x 5

 

8x 8 x 1 2

4x2

8x 5

2 x 1

 

 

 

y

 

 

 

 

бА

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

18

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим знаки второй производной в критических точках:

 

5

 

 

 

 

 

 

18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,

поэтому x

 

 

является точкой локального ми-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

5

 

3

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

И

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нимума.

155

Смотрите также:

«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11
:Конвергентный подход к проектированию дополнительных общеобразовательных общеразвивающих программ