Материал: 2187

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Значит,

4,1 2,025.

дифференциала df (x0)

Геометрический смысл

y = f(x)

x0 x x

Проведем к графику функции y = f(x) касательную в точке M0

(x0, f (x0)), пусть – угол между касательной KM0 и осью Ox (рис. 44).

Тогда f ' (x0) = tg .

Из M0NP

ДРис. 44

	PN = tg x = f'(x0) x = d f(x0).
Но PN является приращением ординаты касательной при изме-
нении x от x0	до x0 + x. Следовательно, дифференциалИфункции f(x) в
точке x0 равен приращению ординаты касательной.
Найдем	дифференциал функции y= x. Так как (x)' = 1, то

dx = 1 x = x. Получили: дифференциал независимой переменной x равен ее приращению, то есть

141

d x = x.

Если x – произвольное число, то из равенства df (x) = f (x)

получаем

d f(x) = f (x) dx,

откуда

шению

(x) =

df (x)

или

f (x) =

Так м образом,

производная для функции y = f(x) равна отно-

бА

ее д фференц ала к дифференциалу аргумента.

Свойства дифференциала функции

Если u (x), v (x) – дифференцируемые функции, то справедливы сле-

дующиеформулы:

1. d (u + v) = du + dv.

2. d (u v) = u dv

+ v du.

3. d

= du v u dv

(v 0).

Иx

4. Инвариантность вида дифференциала.

y = f(x),

Рассмотрим дифференциал

сложной

функции

где

x = (t), то есть y = f ( (t)).

Тогда d y =

yt d t, но

так как yt

= yxxt,

поэтому d y = yxxt dt.

Учитывая, что

= d x,

получаем

d y =

d x = f

(x) d x.

Таким образом, дифференциал сложной функции

y = f (x),

где

x = (t), имеет вид dy = f (x) d x,

такой же, как в том случае, когда x

является независимой переменной. Это свойство называется инвари-

антностью формы дифференциала.

142

§ 7. Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция f (x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная f (x) также является функцией от x на этом промежутке. Если f (x) имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f (x) и обозначается y'' или f (x).

Итак, f (x) = ( f (x))'.

Вообще про зводной n-го порядка называется производная от

(n – 1)-го порядка и обозначается y(n) или f (n) (x). Итак,

(n) (x) = (f

(n-1) (x))'.

Про зводные y'', y''',

... называются производными высших по-

рядков.

производной

Пр меры

1. f (x) =

x . Найти f (x) и f (4).

Решение.

Вычисляем производные

1/2

(x) = x

;

бА

f (x) = –

x 3/2 ;

(x) =

5/2

При x = 4 получаем

(4) =

8 25 =

256.

8 45

2. Найти производную n-го порядка для функции y e3x.

Решение.

y 3e3x ;

y 3 3e3x

3 2e3x ; y''' =3 3e3x.

143

По аналогии находим y(n) = 3 ne3x.

Механический смысл второй производной

Пусть путь S, пройденный телом по прямой за время t, выражается формулой S = f(t). Известно, что при этом скорость V в момент


времени t равна производной от пути по времени: V = S (t). В момент
времени t + t скорость получит приращение
С	V			V = V(t + t) – V(t).

			называется средним ускорением за время t.
Отношен е
	t
Ускорен ем a в данный момент времени называется предел среднего
ускорен я, когда t		0:
и
a =			lim	V , т.е. a = V'(t) = (S(t))' = S''(t).
		t 0		t
Следовательно, ускорение при прямолинейном движении равно
второй производной от пути по времени:
				a = S'' (t).
бА
Перейдем к рассмотрению дифференциалов высших порядков.
Пусть y = f (x);			x X. Дифференциал этой функции y = f '(x) d x
является функцией от x; d x – приращение аргумента x не зависит от
x.
Дифференциал от дифференциалаДфункции называется диффе-
ренциалом второго порядка и обозначается d 2y или d 2f(x).
Итак,					И
				d 2y = d (dy),

но

dy= f (x)dx,

поэтому

144

d 2y = d ( f (x)dx) = ( f (x)dx)dx = f (x)(dx)2.

Будем вместо (dx)2 писать dx2.

Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от

дифференциала (n –1)-го порядка
С
d ny = d (d n – 1 y) = d (f (n – 1) (x)dxn – 1) = f (n)(x) dx n.
Итак,
и
Отсюда	d ny = f (n)( x) dx n.
	(n)	dn y
бА
f	(x) =	dxn .

Пр меры

1. Найти d 3y для функции y = cos2x.

Решение. d 3y = y''' dx 3. Вычислим y''', находя последовательно y', y'', y''':

y' = (cos2x)' = –2cosxsinx = –sin2x; y'' = (–sin2Дx)' = –2cos2x;

y''' = 4sin2x.

Следовательно, d 3y = 4sin2x dx 3. И

2. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения 531.

Решение. Используем приближённое равенство

f (x) df (x) f (x) x,

верное при малых значениях x . Откуда

145

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11
:Конвергентный подход к проектированию дополнительных общеобразовательных общеразвивающих программ