Материал: 2187

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Вариант 18

1.	y 6esin 3x ln	arcsinx	;	2. x y arcsin(xy) arccos	x	;
		cosx

					y

y (arcsin

lnsin x

sint;

;

y 2 cost.

Вариант 19

y e

sin

(x2

;

x arccos

xy ;

arcsin x

бА

y (x2

1)lgcosx;

t sint;

y 2 cost.

Вариант 20

y esin

3 (x2

1);

ysin(xy) cos2

y 5;

y (x2

2x)lnsin x ;

x cost;

y lnsint.

Вариант 21

y 2sin3

ln(x2 1) arcsin2x;

y2 sin x log

;

y (x2

1)sin

;

Дx cost tsint;

y sint tcost.

Вариант 22

y arccos x2

ysin(x2 y) cos y3

sin3 x

;

y (x2

1)ln

sin x ;

x et;

y arcsint.

131

Вариант 23

1. y 2 arccos(x 1) ln 2(ex 1);	2. lg	y3	cosxy 5;
		x

x cost;

y (72x x) x ;

4 t

sin

Вариант 24

arctg x

arcsin5 x

x2 y2 arctg

y e

;

2бА2

3 x

;

y (sin x)

ln(x

;

sin

Вариант 25

y earcsin x

ln sin x 2x;

y (5x2 7x2)

;

sin x

cosx

sin (xy) cos(x y) tg(x

y);

x t sint;

y 2 cost.

Вариант 26

arcsinx

y 2esin 5x tg

;

2. 3x 2y arccos(xy) arctg

;

cosx

lnsin x

x 2t sin4t;

y (arcctg

;

4. y 5 cos5t.

132

§ 5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма. Пусть функция f (x) определена, непрерывна

на интервале (a, b) и в некоторой точке x0 этого интервала принимает

свое наибольшее или наименьшее значение. Если в точке x0

существует производная этой функции, то

f (x0 ) = 0.

принимает

для

определенности,

функция

Доказательство. Пусть,

точке x0

наибольшее значение на (a, b). Покажем,

что f ' (x0) = 0. Используем определение производной в точке x0:

бА

f (x0 )

= lim

(x0 x) f (x0)

x 0

Так как f (x0) – наи ольшее значение, то при любом знаке

имеем f(x0 + x) – f(x0) <

Отсюда, если x

> 0, то

f (x0 x) f (x0)

< 0,

а поэтому

f (x0 ) 0 .

то

Если же приращение аргумента отрицательно x < 0,

f (x0 x) f (x0)

> 0, поэтому f

(x0)

Так

как

f (x0)

– определенное число, то

получаем,

что

f (x0)= 0, что и требовалось доказать.

Геометрический смысл теоремы Ферма

На

рис. 41 изображена непрерывная функция. В точке x1 функ-

ция принимает наибольшее значение M, а в точке x2

– наименьшее

значение m.

Заметим, что

f ( x1) = f ( x2) =kкасательной = 0.

133

y f (x)

бА

иИтак,

Рис. 41

касательные к графику функции y = f (x) в точках экстремума

x1 и x2 параллельны оси Ox.

Теорема Ролля.

Если

функция f (x)

непрерывна на отрезке

[a, b], дифференцируема в каждой точке интервала (a, b) и f (a) = f(b),

то

существует по

крайней

мере

одна внутренняя точка x0 отрезка

[a, b], такая, что f ' (x0) = 0.

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке [a, b],

то, по теореме Вейерштрасса, она достигает на этом отрезке своего

наибольшего значения M и своего наименьшего значения m .

Если M = m, то функция f

(x) постоянна на отрезке [a, b], а пото-

му

f ' (x) = 0 в любой точке x

Д(a, b).

Рассмотрим

случай,

когда

M > m.

Так

как, по условию,

f(a) = f(b), то либо наибольшее значение M, либо наименьшее значе-

ние m,

либо и M, и m достигаются во внутренней точке x0 интервала:

(a,

b). Выполнены все

условия теоремы Ферма и поэтому

f (x0 )= 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля

Геометрически теорема Ролля утверждает (рис. 42), что если функция непрерывная на [a, b], дифференцируемая на (a, b) и имеет на концах отрезка [a, b] одинаковые значения, то

134

найдется точка x0 (a, b), для которой касательная к графику параллельна оси абсцисс.

С		y
С					M
					M



			y = f(x)

	f(a) = f(b)

и
и				a	x0	b x
		0		a	x0	b x

Рис. 42

Теорема Лагранжа. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], д фференц руема на интервале (a, b), то найдется хотя бы одна

внутренняя точка x0 отрезка [a, b], такая, что
f (x0 )=	f (b) f (a)			.	(3)
			b a

Д
Доказательствоб. РассмотримАвспомогательную функцию
F(x) = f(x) – f (b) f (a)(x – a).
		b a		И
Покажем, что функция F(x)
		удовлетворяет всем условиям тео-
ремы Ролля.
Действительно, функция F(x) непрерывна на [a, b], так как на
[a, b] непрерывны функции f(x) и (x – a).
Производная F ' (x) имеет вид
			f (b) f (a)
				.	(4)
F ' (x) = f (x) –

b a

Производная существует в интервале (a, b), как и производная f (x). Вычислим значения F(x) на концах отрезка [a, b]:

135

Смотрите также:


«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
«ДОХОДЫ, РАСХОДЫ И ПРИБЫЛЬ КОММЕРЧЕСКОГО БАНКА.»
Значение, сущность и содержание социально — педагогической деятельности в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей
__RGR2
__RGR2
_11_А. Франс для эл версии
_индив анализ данных
- Интерфейс 485 и оптопорт 11
:Конвергентный подход к проектированию дополнительных общеобразовательных общеразвивающих программ