Материал: 2187

F(a) = f(a) – f (b) f (a)(a – a) = f(a); b a

F(b) = f(b) – f (b) f (a)(b – a) = f (b) – f (b) + f (a) = f (a).

AB (рис. 43), соединяющей точки A(a, f (a)), B(b, f (b)), f' (x0) – угло-

136

вой коэффициент касательной к графику функции y = f (x), проведенной в точке M0(x0, f (x0)), и f (x0 ) = tg .

Теорема Лагранжа утверждает, что

Равенства (5) и (6) называют формулами конечных приращений,

а теорему Лагранжа – теоремой о конечных приращениях. При этом

Д ной этой функции в некоторой внутренней точкеИотрезка.

теорема Лагранжа переформулируется следующим образом:

Теорема Лагранжа. Приращение дифференцируемой функции на отрезке равно произведению длины отрезка на значение производ-

Следствие теоремы Лагранжа (признак постоянства функ-

ции). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и во всех внутренних точках этого отрезка f (x) = 0, то функция f (x) постоянна на отрезке [a, b].

Доказательство. Известно, что производная постоянной функции равна нулю. Докажем обратное утверждение.

Пусть x – произвольная точка отрезка [a, b], не совпадающая с a, тогда по формуле (5) конечных приращений применительно к отрезку [a, x] имеем

f (x) – f (a) = f (x0)(x – a),

137

где x0 (a, x). Так как, по условию, f (x0) = 0, то f( x) = f (a). Следовательно, x [a, b]: f (x) = f (a) и поэтому f (x) – по-

стоянна на [a, b].

Теорема Коши. Пусть функции f (x), g (x) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на (a, b), причем f '(x) 0 для любой точки x из интервала (a, b). Тогда существует внутренняя точка x0 отрезка [a, b], такая, что

случае, по теореме Ролля, f ' (x) = 0 в некоторой точке x (a, b). Введем вспомогательную функцию

F(x) = f (x) – f (b) f (a)(f (x) – f (a))(b) (a)

и покажем, что F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Очевидно, что F(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на (a, b) и

138

§ 6. Дифференциал функции (видео 4)

Пусть функция в точке x0 имеет производную. По определению,

139

140