Материал: 2187

5

5

5

32(1

1

)

25

1

1

.

31

32 1

32

32

f (x) 5

;

x0

x

1

. Производная равна

Полож м

x

1;

Сf (x)

32

1

;

f (1)

1.

55

x4

б

А

15

Окончательно меем

5 31 2(1 1 (

1

))

31

1

.

32

и

16 16

x

.

x2 1

y

x

x2 1 2x2

1 x2

.

2

(x

2

1)

2

(x

2

1)

2

x

1

1 x2

2x(x2 1)2 4x(1 x2)(x2

1)

y

И

Д(x 1)

2x(x2

1) 4x(1 x2)

2x3

2x 4x 4x3

2x3

2x

.

(x

2

1)

3

(x

2

1)

3

(x

2

1)

3

x a(t sint);

най-

y a(1 cost)

Имеем

yt = a sin t;

xt

= a (1 – cost);

yx

yt

asint

sint

=

=

.

xt

a(1 cost)

(1 cost)

и

С

x

a(t sint);

sin t

(7)

y

.

1 cos t

Теперь выч сляем производную от функции, заданной форму-

лой (7).

xt

= a (1 – cost);

sint

cos x

1 cos x sin x sin x

y =

2

t

(1 cost)

1 cos x

cos x cos2 x sin2

x

Д

cos x

1

1

.

1 cos x 2

cos x 1

Итак, вторая производная от параметрически заданной функции

это параметрически заданная функция вида

И

x a(t sint);

1

y

.

Значит,

приращение

функции

положительно:

y f x x f x 0.

y

x

Рассмотрим

теперь отношение

0,

x

x

которое положительно, как отношение двух положительных функций.

Предел положительной функции не может быть отрицательным, по-

этому

lim

y

lim

f x x f x

0.

x 0 0 x

x 0 0

x

Поскольку

про зводная

равна

пределу отношения

вида и

и

y

f

(x) lim

x

x 0

лю, то

бА

y

f

(x) lim

y

f

x x

f

x

lim

lim

x 0 x

x 0

x 0 0 x

lim

y

0.

x 0 0 x

жутке

и дифференцируема в

Д

каждой

точке этого

промежутка, то

f

(x) 0 на этом промежутке.

Утверждение б) доказывается аналогично.

а) Если

– дифференцируемая на

И

f (x)

X

функция и

f

(x) 0;

x X , то f (x)

монотонно возрастает на X .

f (x) 0;

б) Если f (x)

– дифференцируемая на

X

функция и

x X , то f (x)

монотонно убывает на X .

Доказательство

а) Пусть f

(x) 0

во всех точках промежутка

X . Возьмем две

произвольные точки x1

и x2

из X . Считаем,

что

x1 x2,

то есть

x2 x1

0. Запишем для отрезка x1 ; x2 формулу Лагранжа

x2 x1

,

где с x1 ; x2 X . Так

как

с X , то

f

по

условию,

c 0,

x2 x1 0

–

по

выбору

точек, поэтому

f

x2 f

x1 0, или

f x2 f

x1

при условии

x2

x1, что, по определению,

означает

возрастание функции на X .

С

Геометрический смысл

Рис. 45

Касательная к графику монотонно возрастающей функции обра-

Д

Касательная к графику монотонно убывающей функции образу-

ет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол или па-

раллельна ей (см. рис. 45).

И

Пример

Определить

промежутки

возрастания

и

убывания

функции