Материал: 2187

=e

sin x ln x

1

cosx ln x sin

x

=

x

=xsin x cosx ln x sin x

1

.

x

менной t (называемой параметром):

и

С

x (t);

t X.

y g(t),

бА

Функц я x

= (t) на некотором интервале изменения t имеет об-

ратную

функц ю

t = 1(x).

Тогда

y = g( 1(x)). Пусть x = (t);

y = g(t) имеют производные, причем xt

0.

По правилу дифференцирования сложной функции,

yx yt tx .

На основании

правила

дифференцирования обратной

функции

1

Д

tx xt ,

поэтому

yx

yt

при x = (t).

xt

И

Итак, производная параметрически заданной функции имеет вид

y

yx

t

;

xt

x acost;

0 t 2 .

y bsint,

Найти yx .

С

yt

bcost

b

Решение. yx

xt

=

asint

= –

a

ctg t ; x acost .

Получ ли про зводную:

Найти

x acost;

b

yx

a

ctg x.

2.

угловой коэффициент k касательной к циклоиде в точке

M0, соответствующей значению параметра t0

=

.

4

Решение. Параметрическое уравнение циклоиды имеет вид

x a(t sint);

y a(1 cost).

Д

Поэтомубy = a sin t;Аx = a (1 – cost);

t

t

yx

yt

asint

sint

=

a(1 cost) = (1 cost).

xt

Итак, производная циклоиды –

И

это функция вида

x a(t sint);

sin t

y

.

1 cos t

Угловой коэффициент касательной в точке M0 равен значению

yx при t0

=

:

4

sin

2

2

2(2 2)

2

2 2

2

k =

4

=

=

=

=

=

+1;

2

1 cos

1

2

2

2

4 2

2

2

4

С

k =

2+1.

3. Прод фференц ровать неявно заданную функцию

при

2xy2

x2 y x2 2 0.

Решен е. Прод фференцируем обе части данного уравнения по

бА

переменной x, уч тывая

этом, что y

является функцией аргумен-

та х. Получ м

(2xy2 x2 y x2 2)x

2y2 4xyy 2xy x2 y 2x 0.

Из этого равенства выразим производную yx :

4xyy x2y 2xy 2y2 2x,

откуда

Д

2xy 2y2 2x

y

4xy x2 .

И

4. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:

x 2cost2;

y sint 3t.

Решение. Используем правило дифференцирования функции,

заданной параметрически: yx

yt

. Получим

xt

cost 3

3 cost

yx

(sint 3t)

.

(2cost

2

2( sint

2

2

)

) 2t 4tsint

Итак,

3 cost

yx

;

4tsint2

2

.

x 2cost

рифмическогоln y ln(sin x) ;

с помощью лога-

5.

Найти про зводную функции y (sin x)sin x

Сд фференцирования.

бА

Решен

. Дана функция

y (sin x)sin x. Поэтому

sin x

y

(ln(sin x)

sin x

y

y

y

) ;

(sin xlnsin x) ;

y y(cos xlnsin x sin x

cos x

)

sin x

(sin x)sin x (cos xlnsin x sin x ctg x).

И

sin x

Продифференцируем функциюДy (sin x) иначе. Сначала

преобразуем функцию:

y (sin x)

sin x

e

ln sin x sinx

e

sin x ln sin x

.

Теперь используем формулу дифференцирования сложной

функции:

esin

x ln sin

x ln sin x (sin xlnsin x)

y (sin x)sin x

x esin

sin x

(sin x)sin x (cosxlnsin x sin x ctg x).

С

Получили, что

(sin x)sin x (cosxlnsin x sin x ctg x).

y (sin x)sin x

Задачи

для самостоятельного решения

1. Прод фференц ровать неявно заданную функцию:

a)

б

) x2 y3 x2 y x2 1 0;

xy3

4xy

x

2

2 0;

в)

x

2

y

3

x

2

y x

2

y 0;

г)

3x

2

y

2

x

2

y 3x y 0.

А

2. Продифференцировать функцию, заданную параметрически:

2

5t;

2

t 3;

a)

x 2t

б)

x 2t

2 4t4 1;

4t3;

y 3t

y t2

Д

2

6t;

2

;

в)

x 2t

г)

x 2t

3

2

;

3t

.

y 2t 3t

y t

3. Найти производную показательно-степенной функции с по-

мощью логарифмического дифференцирования:

a)

y (cosx)sin x ;

б) y (cosx)x ;

в)

y (sin x)

cos x

;

г)

Иln x

y (sin x) .

4. Исходя из определения производной, найти f

(0):