Материал: 2187

то их про зведен е д фференцируемо в этой точке, причем

С

(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

ледств е. Постоянный множитель можно выносить за знак

, то есть

производной

(C f(x))' = C f (x).

Доказательство. Используем теорему 2:

(C f(x))' = C f x C f (x) = 0 f x C f (x) = C f (x).

Теорема 3. Если функции u(x), v(x) дифференцируемы в точке x

и v(x) 0, тобих частное дифференцируемоАв этой точке, причем

u(x)

u (x) v(x) u(x) v (x).

v

2

(x)

v(x)

Д

С помощью теоремы 3 можно вычислить производные функций

tg x и ctg x.

И

Пример

1

Покажем, что

(tg x)

. Действительно,

cos2 x

sin x

(sin x) cos x sin x(cosx)

cos2

x sin2 x

1

(tg x)

.

cos

2

x

cos

2

x

cos

2

cos x

x

Итак, получили формулу

(tg x)

1

. Аналогично находит-

cos2 x

ся производная (ctg x)

1

sin2 x.

Пусть y = f (u(x)является сложной функцией, составленной из

функций y = f (u); u = (x), где u – промежуточный аргумент.

Теорема 4. Если функция u =

(x)имеет производную ux в

точке x, а функц я y = f (u) имеет производную yu

в точке u

= (x),

то сложная функц я y = f (u(x))

в точке x имеет производную yx ,

С

причемyx =

yu ux .

Иначе: про зводная сложной функции равна произведению

производной данной функции по промежуточному аргументу на про-

изводную промежуточного аргумента.

С помощью теоремы 4 найдем производную степенной функции

y x , где – постоянное число.

По свойствам

логарифмов

x

eln x

e ln x ,

поэтому

x

e ln xявляется сложной функцией от x:

y = e u ; u = ln x. По

теореме 4

бА

y (x ) yu ux

eu

e ln x x

1

x 1.

x

x

x

Д

Итак, получена формула

x x 1.

И

xy

1

.

yx

На основании теоремы 5 можно получить следующие формулы:

С

1

1.

(arcsinx)

1 x2

.

и

2.

(arccosx)

1

.

1 x2

3.

(arctgx)

1

.

2

бА2

1 x

(arcctgx)

1

4.

1 x2 .

Введем понятия гипер олических функций, имеющих примене-

ние в математике и ее приложениях:

гиперболический синус

sh x

ex

e x

;

гиперболический косинус

ch x

ex

e

x

;

2

ex

x

e

гиперболический тангенс

И

th x

x

;

x

Дe e

гиперболический котангенс

cth x

ex e x

.

e

x

e

x

Для гиперболических функций верны тождества

th x

sh x

;

cth x

ch x

; ch2x – sh2x =1.

ch x

sh x

x

e

x

1

e

x

e

x

(shx)

e

((e

x

)

(e

x

chx.

2

) )

2

2

Итак,

(sh x)' = ch x.

Также доказывается, что ch x)' = sh x.

С2

2

x =1, то получаем

Так как ch

x – sh

(th x)

1

ch2 x.

и

Аналог чно можно показать, что

(cthx)

1

sh2x.

Совокупность полученных формул назовем таблицей производ-

ных:

бА

1. c 0.

1

9. arcsinx

.

1 x

2

2. xm mxm 1;

1

Д

x

.

1

2

x

10. arccosx

.

1 x2

3. ax

ax lna;

1

e

x

x

11. arctgx

.

e

.

2

И1 x

1

1

4. loga x

;

12. arcctgx

.

2

xlna

1 x

1

13. (shx)' = chx.

lnx

.

x

cosx.

14. (chx)' = shx.

5. sin x

С

1

sin x.

15.

(th x)

2

.

6. cosx

ch

x

1

1

7. tgx

cos2

x

.

16. (cthx)

.

2

и

sh x

1

8. ctgx

.

sin2 x

Основные свойства:

бА

uv

u v

uv

;

uv

u

u v

;

v2

v

yx = yu ux .

2

Д

Примеры

Найти производные функций в примерах 1 – 4:

1. y

ex 2х

И

.

Решение.

Используем правило вынесения постоянного множи-

теля за знак производной и правило дифференцирования разности:

ex

2x

1

x

х

1 x

х

ex 2x ln2

e 2

e 2 ln 2

.

y

2

2

2

2