Материал: 2187

Решение.

Используем

правило

дифференцирования

сложной

функции f g x

f

(g) g

(x):

1

1

1

y

ln

cos x

(cos x)

( cos x)

С

cos x

cos x 2

cos x

sin x

1

tg x.

2cos x

2

и

представив

Замет м,

что этот результат можно было получить,

функц ю в в де y ln

cosx

=

1

lncosx.

2

бА

3. y e x

ln x.

Решен е.

Воспользуемся правилом дифференцирования

про-

изведен я двух функц й и производной сложной функции. Получим

x

-x

x

x

e x

y

(e

ln x)

(e

(lnx)

e

ln x

.

) ln x e

x

4. y arccos

1

.

Д

x

3

Решение. Используем формулу производной сложной функции.

Получим

И

1

1

1

x4

y (arctg

)

)

2

2x

(

(

)

.

x2

1

x2

x4 1

x3

x4

1

1

x4

5. Составить уравнения касательной и нормали к графику функ-

ции y sin 2x в точке x0

π

.

Решение.

3

уравнение

касательной

Используем

2π

;

y f (x0) f (x0)(x x0).

В

нашем

случае

f (x0) sin

3

3

2

f (x0) 2cos

2π

1. Подставляем в уравнение y

3

(x

π

), от-

2

3

π

3

куда получим

y x

3

– уравнение касательной.

2

3

Запишем теперь уравнение нормали

С

y

f (x

0

)

1

(x x ).

f (x0)

0

x

π

, от-

Подстав м в это уравнение числовые данные

y

3

2

π

3

куда y x

3

– уравнение нормали.

3

2

Задачидля самостоятельного решения

Выч сл ть про зводные функций (прил. 6):

1.

y 6cos x 7x 3ex 2x2 1.

2.

y 2tgx 2x3

7ln x 21 6x .

3.

y 3arcsinx 8ctgx 3x

6x10

81.

4.

3

x

бy (2ln x x А3)(6e 3sin x cosx).

5.

y (3arctg x 8x)(2tg x 6log5

x 4).

6.

y 3sin x 4ln x.

Д

3x2 6x 7

5tgx 8x 4

7.

y

.

И

5ctgx 6ex

2x2 7

8.

y

.

arctgx

9.

y (3x2 6x 8)3.

10.

y sin(2x2 4x 5).

11.

y cos(4x ln x).

12.

y arctg(x2).

13.

y e2sin x cos x .

14.

y (4ex 3)7.

15.

y (sin x)3.

16.

y ln5 x.

17.

y arctg2x.

С

10

3x 8

18.

y

sin x

.

2x 3

19.

y sin

.

уравнения 6

6x

2

20.

y

cos3 x

21.

4x

Состав ть

касательной и нормали к графику

функц

y cos3x в точке x0

.

22.

Состав ть уравнения касательной и нормали к графику

функц

y xe3x в точке x0

1.

23.

Составить уравнения касательной и нормали к графику

бА

функции

y

x

3

4x

2

7 в точке

x0 2.

Ответы:

x

Д

1. y

6sin x 7 3e

4x.

9.

y

2(3x

2

6x 8)

2

(6x 6).

13.

y

e

2sinx cos x

(2cosx sin x).

17. y

arctg x

1

.

1 x2

21.

y 3x – уравнение касательной.

2

§ 4.

Дифференцирование

функций,

заданных неявно

и параметрически.

Логарифмическое

дифференцирование

уравнен я выраз ть y'.

Напр мер, найдем y' для функции x2

+ y2

= a2:

С

(x2 + y2)x = (a2)x

; 2x + 2y y' = 0,

отсюда y' = –x y.

и

бА

Дифференцируем полученное равенство:

1

y' = v' ln u + v

1

u',

y

Д

u

откуда получаем

y' = y(v' ln u + v

1 u').

И

Решение. Прологарифмируем равенство ln y = sin x

ln x, полу-

чим (ln y)' = (sin x ln x)'. Теперь вычисляем производные и выражаем

y':

1

1

С

y' = cos x ln x + sin x

;

y

x

y' = xsin x

(cos x ln x + sin x

1

),

или

x

производную

xsin x 1.

y'

=

xsin x cos x ln x + sin x

Замет м,

что

показательно-степенной функции

y = u(x)v(x), где u(x)

>

0; u(x),

v(x) – дифференцируемые функции,

способом

можно выч сл ть другим

. Предварительно преобразуем

функц ю:

y uv eln uv

ev ln u.

А

Теперь мы можем продифференцировать данную явно заданную

функцию как сложную.

v ln u

v ln u

v ln u

1

y e

e

ln u ln u e

ln u

u .

u

Покажем данный прием на примере.

И

Пример

Д

y xsin x

(x > 0). Найти y'.

Решение. Преобразуем функцию:

y x

sin x

e

ln xsin x

sin x ln x

.

e

y e

sin x ln x

e

sin x ln x

sin x ln x =