Материал: 2187

y

x

lim

, но

f (0) lim

x 0 x

x 0 x

ренциру

емав точке x0 = 0.

x

x

1,

если

x 0;

поэтому lim

1,

x

1,

если x 0,

x

x 0 0

С

x

бА

x

а lim

1,

знач

т, lim

не существует, т.е. f (x) не диффе-

x 0 0 x

x 0 x

Д

y

M

f (x0 x)

M0

y

f (x0)

И

A

x

K

0

x0 x

x0

x

y = f(x)

Рис. 38

Точка M0 на графике имеет координаты (x0,

f (x0)), еще одна

точка графика M – координаты (x0 +

x, f(x0 +

x)). Прямая M0M

M0M, поворач ваясь вокруг точки M0, стремится занять предель-

коэффициент

ное положен е, то есть совпасть с касательной M0K, при этом

С( – угол между касательной M0K и осью Ox); tg = tg .

Так м образом, f (x0) lim

y

tg , но tg = k есть угловой

бА

x 0

x

коэфф ц

касательной M0K.

касательной к графику y = f (x) в

Итак,

угловой

точке с абсц ссой x0 равен производной функции f (x) в точке x0:

f (x0) = k = tg .

В этом состоит геометрический смысл производной.

Д

Очевидно, что уравнение касательной (рис. 39) имеет вид

y – f (x0) = f (x0)(x – x0).

И

Уравнение нормали (см. рис. 39)

имеет вид

y – f (x0) =

1

(x – x0).

f (x0 )

СM0

но по закону S = f(t), где t – время; S – путь, проходимый точкой за

и

время t.

M

бА

S0

S

S

в момент t0. Рассмотрим другой

момент времени

t0 + t. За время t0

пройденный точкой путь равен

S0 = f (t0), за (t0 +

t) пройдено рас-

стояние S = f(t0 + t) и точка оказалась в положении M, тогда за время

t пройден путь M0M и он равен

S – S0 = f (t0 + t) – f(t0) = S.

И

Средняя скорость Vср за пpомежутокДвремени t равна

S

. Но

t

f (x0) lim

y

существует.

x 0 x

Производная функция от функции f (x), по определению, имеет

вид

С

f

f (x x) f (x)

.

(x) lim

x

x 0

Выч сл м про зводные некоторых элементарных функций.

1. f(x) = с – постоянное число. Тогда (c)' = 0. Действительно,

и

f (x x) f (x)

lim

c c

lim

0 0.

f (x) lim

x

x 0

x 0 x

x 0

2.

(x)' = 1. Действительно,

f

(x x) x

lim

x

lim 1 1.

(x) lim

x

x

x 0

x 0

x 0

бА

3.

(

1

. Действительно,

x)

x

2

Д

x x

x

(

) lim

lim

x

x

x

x

x

x x x)

x 0

x 0 x(

lim

1

1

.

И

x 0

x x x 2 x

4.

1

1

. Действительно,

x2

x

lim

x (x x)

lim

1

1

.

x 0 x(x x) x

x 0 x(x x)

x2

5.

(sin x)' = cos x. Действительно,

С

2sin

x

cos(x

x

)

2

(sin x)

lim

sin(x x) sin x

lim

2

x

x 0

x

x 0

бА

x

иsin

x

lim

2

lim cos(x

) 1 cos x cos x.

x 0

x

x 0

2

2

6. Аналогично доказывается, что (cos x)' = –sin x.

x

x

Д

7.

a

a

ln a. Действительно,

(a

x

ax x ax

a x(a x

1)

a

x

a x 1

) lim

lim

lim

x

x

x 0

x

x 0

x 0

a 1~ lna (при 0).

x И

При a = e

получаем формулу e

x

e

.