Материал: 2187

Вариант 27

1. Найти пределы функций:

а)

lim

4x2

x 8

;

б)

lim

x2

16

;

в) lim

sin8x

;

x 3

4x

x 6x2

x 4 x2

x 0 sin 4x

3

2

3x2

5x

cos 3x cosx

г)

x 6

;

д)

; е)

.

lim

lim

lim

x

3 8

tg22x

x 2

x 0 sin3x

x

2. Найти верт кальные асимптоты, нарисовать схему графика

и

функц

С f (x)

x2 1

.

x2

4x 3

бА

3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разры-

ва определ ть

х т п:

ex,

x 0;

f

0 x 2;

(x) x 1,

1

,

x 2.

x 2

Д

Вариант 28

1. Найти пределы функций:

7x2 x 1

x2 4x 12

tg3x

а)

lim

; б)

lim

x 6

;

в) lim

;

x 8x2

12x 3

x 2 x2

x 0 tg6x

И

x 13

2

x 1

1 cos3

x

1 x2

г)

lim

x2 9

;

д)

lim

4x2

;

е) lim

.

x 3

x 0

x 1 sin x

2. Найти вертикальные асимптоты, нарисовать схему графика

функции

x2

f

(x)

4x 4

.

x2 x 6

f (x)

4ex, 0 x 4;

1

, x 4.

x 4

Вариант 29

1.

пределы функций:

Найти

x2 2x 1

sin8x

x2

x

8

Са) lim

;

б)

lim

x2 1

;

в)

lim

;

x 3x

2

x 8

x 1

x 0 sin5x

бА

10 x

г)

lim

x

1

; д)

lim

1 cos2x

;

е) lim

3

.

x 1 3

x

2

1

x 0 cos7x cos3x

x 1

sin3 x

2. Найти верт кальные асимптоты, нарисовать схему графика

функц

x2 2x 4

f (x)

.

x2 3x 10

3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разры-

ва и определить их тип:

Д

x

2

2x,

x 0;

f (x)

0 x 2;

x3,

x 2.

x 3,

Вариант 30

1. Найти пределы функций:

4x2 7x 8

x2

5x 6

tg4x

а)

lim

; б) lim

;Ив) lim ;

x 16x2 8x 1

x 1 x2

5x 4

x 0 tg2x

3

;

lim

1 cos10x

; е) lim

sin5x

.

г)

lim

1 x

д)

x 8

2 3

x

x 0

ex2

1

x

tg3x

f (x)

x2

3x 2

.

x2

4x 3

3. Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разры-

ва и определить их тип:

1

, x 3;

x 3

f

3 x 0;

(x) x 3,

и

С

x2,

x 0.

бА

Д

И

§ 1. Определение производной функции (видео 2)

Пусть функция y = f (x) определена в точке x0 и некоторой ее ок-

С

рестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: раз-

ность x – x0 обозначим через x и назовем приращением аргумента,

разность f(x) – f(x0) обозначим через y

и назовем приращением

функц

(р с. 37).

и

бА

Рис. 37

Итак, x= x – x0; y= f(x) – f(x0). Отсюда получаем равенство

x = x0 + x, тогда

y= f(x0 + x) – f(x0).

Производной функции

f (x) в точке x0

И

называется предел отно-

шения приращения функции к приращениюДаргумента, когда прира-

щение аргумента стремится к нулю.

Производная обозначается f (x0).

Итак,

f (x

0) lim

y

lim

f (x0

x) f (x0 )

lim

f (x) f (x0)

.

x 0 x

x 0

x

x x0

x x0

f

f (3 x) f (3)

(3 x)2 32

(3)

lim

lim

x

x 0

x 0

x

lim

9 6 x ( x)2 9

lim

6 x ( x)2

x

x 0

x 0

x

lim (6 x) 6.

x 0

Если

Спро зводная

f (x0) существует, то говорят, что функция f (x)

lim ( f (x) f (x0 )) 0;

lim ( f (x0 x) f (x0)) 0;

x x0

x 0

x 0

Д

И