Материал: 2187

Графики функций с разрывами первого рода имеют вид, изо-

браженный на рис. 19 23.

y

f a

y

f a

x

x

a

a

СР с. 19

Рис. 20

y

y

f a

f a

и

не существует

x

x

a

a

Рис. 21

Рис. 22

y

бА

f

a не существует

(устранимый разрыв)

x

Дa

Рис. 23

Разрыв, изображенный на рис. 23, называется устранимым раз-

И

рывом. Для устранения разрыва достаточно доопределить функцию в

точке a: f a lim

f x lim

f x .

x a

x a

Точка разрыва а называется точкой разрыва второго рода, если

нарушается условие 2 непрерывности функции, то есть

lim

f x и (или) lim

f x .

x a

x a

Графики функций с разрывами второго рода показаны на рис.

24 27.

y

y

С

x

x

a

a

Р с. 24

Рис. 25

y

y

и

x

x

a

Рис. 26

Рис. 27

Пример

бА

Функция y

1

не определена при x 0. В этой точке она имеет

x

lim f x ; lim f x (рис. 28).

разрыв второго рода.

x 0

x 0

y

Д

Разрыв второго рода

x

Рис. 28

И

Примеры

Определить разрывы функций, изображенных на рис. 29 31.

и

Рис. 29

СНа р с. 29 зо ражен разрыв первого рода (скачок), не устрани-

мый в точке x0 . Нарушен пункт 3 определения непрерывности:

б

lim

f x

A; lim

f x B; A,B = const; A B.

x x0 0

f x

x x0 0

Функц я

в точке x0

имеет скачок, равный B A.

2.

А

Д

Рис. 30

рушены условия 1 и 4 развернутого определения непрерывности:

f x0

не существует, то есть

И

f x0 lim f x .

3.

x x0

lim

f (x) или

lim f (x) .

x x0

x x0

Такой разрыв часто называют бесконечным.

Примеры

1. Определ ть точки разрыва графика функции

и

С

2

,

x 1;

2x

1

y(x)

, 1 x 3;

x 2

бА

x

2,

3 x .

Решен е.

Функц я задана с помощью трех функцийy 2 x2;

y

1

; y x 2. При этом функции y 2 x2

и y x 2 непрерыв-

x 2

1

ны, функция y

не определена и поэтому разрывна при x 2.

x 2

Д

Исследуем вид разрыва в точке

x 2

и в точках

x 1; x 3, в

которых стыкуются графики указанных выше функций.

a) x 2.

Вычисляем односторонние пределы

lim

1

;

lim

1

.

x 2 x 2

И

x 2 x 2

рода;

Пределы бесконечные, значит,

x 2

точка разрыва второго

б) x 1.

Найдем односторонние пределы:

lim f (x) lim

2x2 2;

lim f (x) lim

1

1.

x 1 0

x 1 0

x 1 0

x 1 0 x 2

x 1

Пределы слева и справа конечны, но не равны, поэтому в точке

функция имеет разрыв первого рода (скачок);

lim f (x) lim

1

1;

lim

f (x) lim

x 2 1.

x 3 0

x 3 0 x 2

x 3 0

x 3 0

Пределы слева и справа конечны и равны. Кроме того, функция

определена при

x 3

y(3) 3 2 1, поэтому точка

x 3

точка

непрерывности функц .

односторонние

x3

4

2. Определ ть точки разрыва функции y

4x2

.

С

Решен . Функц я определена на всей числовой оси,

кроме

бА

2

точки х = 0.

Исследуем поведение функции в окрестности точки х = 0. Для

этого выч сл м

пределы

lim y

x3

4

y lim

x3

4

lim

;

lim

.

x 0 0

x 0 0 4x2

x 0 0

x 0 0 4x2

прямая х = 0 является вертикальной асимптотой графика функции.

Д

3. Определить точки разрыва функции

y

2x 1

.

(x 1)

Решение. Область определения функции

D(y) = x ;1 1; .

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки x =1. Вычис-

лим её односторонние пределы в этой точке:

lim

2x 1

;

lim

2x 1

.

2

(x 1)

(x

И2

x 1 0

x 1 0

1)