Материал: 2187

1 cos2(x 2)

5x2

7x2

1

3.

lim

x2 12 4

;

4. lim

5x

2

2

;

x 2

x

5.

lim

3x2 7x 2

.

x2

3x 2

x

С

Вариант 21

x2

6x 8

1 cos2 x

и

1.

lim

;

2.

lim

;

x 2 arcsin(x 2)

x 01 cos 6x

1

x2

1 2x2

1 2x

3.

lim

;

4.

lim

;

2

x

x 0 ln(1 sin x)

x

5.

lim

x2 6x 8

.

(x 2)2

x

Вариант 22

1. lim

2x2 5x 3

;

2. lim

x2 1

;

x 3

x 3

x 1

3 x2 2

бА

x2 3

2x2

4

x2

1

4. lim

3. lim

;

2

5

;

x 1 ln x

x x

5.

lim

2x2 5x 3

.

Д

x 3

x

Вариант 23

x

2

5x 6

1 e

3x2

И

1.

lim

;

2.

lim

;

x 3

x2 9

x 0 1 cos4x

1

x2 17

x2 4

lim

3x 1

3.

;

4.

lim

;

2

x 0

arctg5x

2

x x

5.

lim

x2

5x 6

.

x2 9

x

С

Вариант 24

3

lim

x

2

2x 1

2. lim

cos

x cosx

1.

;

;

sin5x

2

x 1 2x2 x 1

x 0

2

5x2 4

lim

x 3

7x2 1

3.

;

4. lim

;

2

2

x 1

1 x

2

x 7x

5.

lim

x2

2x 1

.

бА

x 2x2

x

1

иВариант 25

1 cos5x

1.

lim

3x2 7x 10

;

2. lim

;

x 1

x2 1

x 0

e3x 1

5x2 3

5

lim

9 2x

5x2 11

3.

;

4. lim

;

2

x 8

x 1 3

5x

2

x

5.

lim

3x2 7x 10

.

Д

x2 1

x

И

x2

Вариант 26

2x 3

1.

lim

;

2.lim

1 x

1 x

;

x 1

x 1

x 0

1 x 1

lim

1 cos3x

4. lim

4x 12

8x 4

3.

;

;

2

ln(3x

1)

4x 3

x 0

x

5.

lim

x2

2x 3

.

x 1

x

1.

lim

x

2

2x 24

;

2.

lim

1 cos2x

;

e3x

2

x2 36

x 6

x 0

1

С

4x2

2x2

1 x 3

1

3.

lim

;

;

2

3x 1 5

4. lim

4x

x 8

x

lim

3x2 4x 6

5.

.

и

x

5x2 36

§ 9. Непрерывность функции в точке

Функц я y f x

называется непрерывной в точке а, если она

определена в некоторой окрестности точки a и lim

f x f a .

Пределы справа

слева:

x a

lim f x lim f x предел справа (рис. 15);

x a

x a

x a

Д

а

бАРис. 15

lim f x lim f x предел слева (рис. 16).

x a

x a

И

y

A

B

lim f x В

a

f x A

x

lim

x a

A B

x a

С

Рис. 17

Развёрнутое определение непрерывности

и

непрерывной в точке а, если

Функц я y f x является

1) определено значение функции в точке а;

2) существуют конечные односторонние пределы

lim

f x ; lim f x ;

x a

x a

3) эти пределы равны между собой:

lim

f x lim f x ;

x a

x a

4) этибАпределы равны f (a): lim f x lim f x f a

(рис.

x a

x a

18).

Д

y

f а

x

a

И

Свойства непрерывных функций

Теорема 1. Если f x и g x непрерывны в точке а, то

1)

f x g x сумма (разность) непрерывна в точке а;

2)

f x g x произведение непрерывно в точке а;

3)

f x

отношение непрерывно в

точке

а при

условии

g x

g a 0.

y x

Теорема 2 (непрерывность сложной функции): если

непрерывна в точке а и

z f y

непрерывна в точке b a , то

С

x непрерывна в точке а.

сложная функц я z f

Теорема 3. Все элементарные функции непрерывны в своей об-

определен я.

Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке

ласти

a;b , то она дост гает на этом отрезке своего наименьшего и наи-

большего значен й: x1,x2

a,b : f x1 m,

f x2 M .

Следствие теоремы Вейерштрасса. Если функция непрерывна

на

отрезке

a;b ,

то

она

ограничена

на

этом

отрезке:

C :

f x

C на a,b .

Замечание. Для открытого интервала (а, b) теорема Вейершт-

расса неверна.

бА

a;b , то

Теорема Коши. Если функция непрерывна на отрезке

она принимает все промежуточные значения между наибольшим и

наименьшим значениями: k m,M x0 a,b : f x0 k.

Следствие теоремы Коши. Если функция непрерывна на от-

Д

резке a;b и принимает на концах отрезка значения противополож-

ных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка, в которой

она обращается в нуль: x0

a,b : f x0 0.

§ 10. Точки разрыва графика функцииИи их классификация