Материал: 1753
y2 21J1 22J2 23J3 ... 2n Jn F(t) 2F ;
…………………………………………………… (9.26)
yn n1J1 n2J2 n3J3 ... nn Jn F(t) nF .
В (9.26) J1, J2, … , Jn – инерционные силы; ij – перемещение в на-
правлении i-й массы от действия силы F = 1, приложенной в точке прикрепления j-й массы; iF перемещение i-й массы от действия силы F(t) = 1. Движение масс во времени будет происходить по тому же закону, по которому меняется внешняя возмущающая сила: y1 A1 cos t; y2 A2 cos t ;…; yn An cos t.
Силы инерции, приложенные к каждой из масс, имеют вид
J1 m1 d2 y21 m1 2A1cos t m1 2 y1;
dt
J2 m2 d2 y22 m2 2A2 cos t m2 2 y2 ;
dt
……………………………………….. (9.27)
Jn mn d2 y2n mn 2An cos t mn 2 yn . dt
Подставляем (9.27) в систему (9.26) и, сокращая на cos t, получаем следующую систему уравнений:
* |
|
J |
1 |
|
12 |
J |
2 |
... |
|
1n |
J |
n |
F |
1F |
0; |
|
|||
|
11 |
|
|
|
J |
|
|
J |
0 |
0; |
|
||||||||
|
21 |
J |
1 |
* |
2 |
2n |
n |
F |
|
2F |
|
||||||||
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
0 |
|
|
(9.28) |
|||||||
................................................................ |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
J |
|
|
|
* |
J |
|
F |
|
0. |
|
||
|
1 |
n2 |
2 |
nn |
n |
nF |
|
||||||||||||
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
В уравнениях (9.28) главные диагональные коэффициенты равны:
|
* |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
* |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
; … ; |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
11 |
11 |
|
22 |
22 |
|
nn |
nn |
|
||||||||||||||
|
|
|
m 2 |
|
|
|
m 2 |
|
|
|
|
|
m 2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
Следует отметить, что эти коэффициенты в отличие от главных диагональных систем канонических уравнений метода сил и метода перемещений могут быть отрицательными. Решая систему (9.28), находим амплитудные значения инерционных сил J1, …, Jn. Силы инер-
145
ции будут меняться по такому же гармоническому закону, как и воз-
мущающая |
сила |
F(t): |
J1(t) J1 cos t; |
J2(t) J2 cos t;…; |
Jn (t) Jn cos t. |
|
|
|
|
Определив инерционные силы, можно определить изгибающие моменты (динамические), которые возникают в поперечных сечениях рассматриваемой конструкции в состоянии наибольших отклонений масс от положения равновесия. В соответствии с этим можно записать
|
|
|
|
|
Мдин |
МF Mi Ji . |
(9.29) |
||
|
t |
|
||
где MFt – изгибающий момент от действия амплитудного F0 значения
возмущающей силы F(t); Mi изгибающий момент от действия силы F=1, приложенной к точке прикрепления i-й массы.
Определив Mдин, можно найти Qдин, используя для этого известную из сопротивления материалов дифференциальную зависимость
Qдин dMдин tg , где – угол наклона Mдин с осью балки (рамы). dS
Вырезая узлы на эпюре Qдин, определяем Nдин.
9.7. Расчет рамы на динамическое действие нагрузки
Рассмотрим статически определимую раму (рис. 9.11), на горизонтальном элементе которой находятся колеблющиеся массы.
|
Исходные данные: = 6 м; h = 4 м; m1 |
= 4 |
кН с |
2 |
; |
||
|
м |
|
|||||
|
|
кН с2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
m2 |
= 3 |
|
; F0 = 30 кН; EJ = 7000 кН м . |
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Порядок расчёта:
1.Определение числа степеней свободы: каждая из масс m1 и m2 может перемещаться только в вертикальном направлении, следовательно, число степеней свободы рассчитываемой рамы равно 2.
2.Построение единичных и грузовой эпюр.
Вточке приложения массы m1 прикладываем F = 1 и строим эпюруМ 1, изображённую на рис. 9.12.
В точке приложения массы m2 прикладываем F = 1 и строим эпюру М 2, изображённую на рис. 9.13.
146
В точке действия возмущающей силы прикладываем амплитудное
значение этой силы F0 |
|
|
|
и строим эпюру MF , |
изображённую на рис. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9.14. |
|
|
Определение коэффициентов δiK, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
iF: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 |
Эп. |
|
|
|
1 Эп. |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
3 4 2 6 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
6 3 3 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
М |
М |
6 3 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
EJ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
128,5 |
|
|
|
2EJ |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
3 3 |
2 |
3 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
3 4 |
2 |
3 |
1 |
|
3 6 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22 |
|
Эп.M |
2 Эп.M |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2EJ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
+ |
|
1 |
|
1 |
3 3 |
2 3 |
75 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2EJ |
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Эп. |
|
1 Эп. |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
4 6 |
2 |
|
6 |
|
|
1 |
|
3 6 6 |
1 |
3 3 |
2 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
М |
М |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2EJ |
|
|
|
|
|
|
2EJ |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
2 6 6 2 3 3 2 3 6 |
246 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
6EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Эп.MF Эп. |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
2 30 |
2 |
3 |
1 |
|
|
2 |
2 30 3 30 6 |
240 |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1F |
|
M |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
EJ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
EJ |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
1 |
2 30 |
2 |
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2F |
Эп.MF Эп.M |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
2 30 1,5 30 3 |
120 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
m1 m2
● ●
h/2 |
ℓ/2 |
ℓ/2 |
ℓ/2 |
F(t)
h/2
Рис. 9.11
147
|
|
_ |
|
6 |
|
F=1 |
3 |
|
6 |
||
2 |
3 |
3 |
3 |
2 |
3 |
|
_ |
|
|
||
|
|
Эп. М1 |
|
|
|
Рис. 9.12 |
|
3 |
|
3 |
_ |
|
F=1 3 |
||
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
3 |
|
1.5 |
|
|
2 |
|
|
_ |
|
|
|
Эп. М2 |
|
|
Рис. 9.13 |
|
30 кНм |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
F0=30 кН |
|
|
2 |
148 |
Эп. МF |
|
|
||
Рис. 9.14
4. Определение собственных частот.
Составляем вековое уравнение для определения собственных чисел, которое для данной задачи имеет вид определителя второго порядка (число степеней свободы равно 2).
11m1 |
12m2 |
0. |
m1 21 |
22m2 |
|
Раскроем определитель и получим алгебраическое уравнение второго порядка относительно искомого параметра .
( 11m1 )( 22m2 ) 122 m1m2 0;
11 22m1m2 22m2 11m1 2 122 m1m2 0;2 ( 22m2 11m1) 11 22m1m2 122 m1m2 0.
Подставим в последнее уравнение значения перемещений и решим его:
|
2 |
|
75 |
|
246 |
|
|
75 |
|
246 |
|
128,52 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
0; |
|
EJ |
EJ |
EJ |
EJ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
EJ 2 |
|||||
2 1209 204887,75 0;
EY (EY)2
|
|
1209 642130 |
|
1209 801,33 |
. |
12 |
|
EJ 2 |
|
2EJ |
|
|
|
|
|||
Корнями уравнения являются найденные значения .
|
|
1005,16 |
; |
|
|
|
407,67 |
. |
1 |
|
EY |
|
2 |
|
EY |
||
|
|
|
|
|
||||
149