Материал: 1753

Рис. 10.1

Для сжатого силой F стержня при F < Fкр устойчива прямолинейная первоначальная форма равновесия (рис. 10.1, а). Это состояние характеризуется тем, что стержень, отклонённый на малую величину от начального положения равновесия, возвращается в первоначальное положение после устранения возмущений.

При сжимающей силе F = Fкр (рис. 10, б) происходят разветвления форм равновесия, т. е. возможны две формы равновесия прямолинейная и криволинейная. В этом случае стержень испытывает состояние, когда бесконечно малое превышение силы F приводит к потере устойчивости. При F > Fкр (рис. 10, в) устойчивыми становятся криволинейные формы равновесия, что ведёт к разрушению стержня.

На рис. 10.1 пунктиром показаны неустойчивые формы равновесия. Основной задачей исследования устойчивости конструкций является определение критических нагрузок. Критические нагрузки определяются статическими, энергетическими и динамическими методами.

Статический метод. Исследуют равновесие систем в отклонённом состоянии. Получают уравнения, описывающие перемещения систем в отклонённом положении, и определяют величину сжимающей силы, при которой возможно появление новых форм равновесия. Минимальная величина этой нагрузки и будет являться критической силой. Для исследований используют любые методы раскрытия статической неопределимости.

Энергетический метод. Этот метод основан на определении критической нагрузки из условия равенства нулю приращения полной энергии системы при переходе её в новое неустойчивое положение равновесия. Если потенциальная энергия системы при этом возрастает, то первоначальное положение равновесия устойчиво.

Динамический метод. Этот метод основан на использовании колебаний систем. Если колебания системы происходят с уменьшением амплитуды колебаний, то первоначальное положение системы устойчивое. При достижении нагрузкой критического значения внешнее

156

возбуждение приводит к неограниченному росту амплитуд колебаний.

10.2.Определение усилий в сжато-изогнутых стержнях при смещении их опорных закреплений

При исследовании устойчивости стержневых систем необходимо определить концевые усилия в стержнях при смещениях их опорных закреплений. Рассмотрим стержень длиной , жёсткостью EJz , сжатый силой F (рис. 10.2).

Предположим, что в результате потери устойчивости стержня, сжатого силой F, левый край его сместился на величину y0 , а поперечное сечение повернулось на угол φ0 . В переместившемся приопорном сечении стержня возникли усилия M0 (изгибающий момент) и Q0 (поперечная сила). Направления Q0 и M0 выбираем в соответствии с принятыми направлениями для поперечной силы и изгибающего момента.

Рис. 10.2

В произвольном сечении х стержня значение изгибающего момента определяется выражением

157

Из теории изгиба, рассмотренного в курсе сопротивления материалов, уравнение изогнутой оси стержня записывается

Решением неоднородного дифференциального уравнения (10.4) второго порядка является функция

Функция (10.5) представляет собой уравнение изогнутой оси сжатого стержня. Согласно известной дифференциальной зависимости, получим выражение для угла поворота:

граничные условия: при x = 0 y = y0 , а у у0 . Подставим эти условия

158

После подстановки найденных значений постоянных интегрирования в (10.5) и (10.6) выражения для y(x) и у (x) принимают вид, соответствующий выражениям (10.7) и (10.8).

Продифференцировав по длине стержня, получим выражения для определения внутренних силовых факторов.

10.3.Определение изгибающих моментов и поперечных сил

вопорных сечениях

Полученные выражения можно использовать для определения усилий в приопорных сечениях стержня при единичных смещениях этих сечений. Для стержня (рис. 10.3), защемлённого с обеих сторон, при повороте левой заделки на угол у0 = 1 имеют место следующие

φ0 = 1

М0

Мℓ

ℓ