Материал: 1753

Zi вектор искомых перемещений.

В матрице реакций различают «главные» реакции r11, r22, …, rnn ,

«Главные» реакции всегда положительны. Побочные реакции могут иметь любой знак и обладают свойством взаимности, т.е. rij rji .

Матрица жёсткости rij обладает рядом свойств:

1)определитель этой матрицы всегда положителен;

2)матрица rij всегда симметрична относительно главной диаго-

нали;

3)произведение двух «главных» реакций всегда больше квадрата соответствующего побочного перемещения riirjj rij2 .

Для определения значений элементов rij матрицы реакций строят

эпюры моментов Mi от перемещений Zi 1 условных заделок и связей. На рис. 8.4 показаны такие эпюры, построенные для основной системы, изображённой на рис. 8.3. Значения ординат эпюр Mi взяты из прил. 2.

В строительной механике имеются два метода определения значений элементов rij матрицы реакций: 1) кинематический, который ос-

нован на правиле П.Верещагина (аналогично определению перемещений) путём перемножения эпюр; 2) статический, использующий уравнения равновесия.

Наиболее рациональным методом определения реактивных усилий rij является статический метод. В соответствии с этим методом

125

используют два уравнения статики либо уравнение моментов М 0, либо сумму проекций на ту или иную ось, например у,

у 0, сил, действующих на рассматриваемую часть основной системы метода перемещений.

Рассмотрим в качестве примера определение реактивных усилий rij по эпюрам, показанным на рис. 8.4.

Z3=1

Рис. 8.4

Для определения, например, реактивного усилия r11, которым яв-

126

ляется изгибающий момент в условной заделке 1 от поворота этой заделки на единицу, мысленно вырежем на эпюре М1 узел 1 (рис. 8.5, а). Реактивный момент r11направлен в сторону заданного перемещения Z1. Рассматривая равновесие этого узла, запишем

12EJc 3EJc h3 г h3

Рис. 8.5

Реактивное усилие r12представляет изгибающий момент, возникающий в условной заделке 1 от поворота условной заделки 2 на еди-

ницу.

В соответствии с этим на эпюре М2 мысленно вырежем узел 1 (см. рис. 8.5) и снова составим уравнение равновесия:

Проводя аналогичные рассуждения, нетрудно найти реактивное

127

усилие (см. рис. 8.5, в)r23 3EJc . В случае, если реактивным усили- h2

ем является продольное усилие в условной связи (в данном случае это условная связь 3) уравнение равновесия представляет собой х 0.

Для того чтобы составить это уравнение на эпюре (эпюра М3), построенной от линейного перемещения условной связи 3, мысленно делают сечение и рассматривают равновесие (рис. 8.5, г) оставшейся части рамы.

15EJc

r33 h3 .

Для оценки правильности вычисления коэффициентов rij строят суммарную единичную эпюру М (см. рис. 8.4).

Произведение этой эпюры саму на себя должно давать сумму всех коэффициентов при неизвестных.

В случае невыполнения равенства (8.7) проводят построчную проверку.

Для определения свободных членов RiF системы канонических уравнений (8.4) метода перемещений в основной системе строят так называемую грузовую эпюру MFo , показанную на рис. 8.6.

При построении этой эпюры используют стандартные решения из прил. 3. Значения RiF находят, используя те же методы, которые ис-

128

пользуются для определения коэффициентов rij . Так, для определе-

ния значения реактивного усилия R1F мысленно вырезают узел 1, а

усилия R2F узел 2. Из уравнений равновесия находят соответствен-

данной задаче является продольное усилие в условной связи 1, определяют, мысленно делая сечение на эпюре MFo по стойкам близко к ригелю. Из суммы проекций на горизонтальную ось можно найти

R3F F .

2

qℓ2

2

Рис. 8.7

129