Материал: 1753

и N площади единичных эпюр M и N .

При поперечном сечении элемента, несимметричном относительно нейтральной оси, в формулах (5.34) и (5.35) во втором слагаемом множитель, связанный с температурой, принимает вид t2 t1 t2 /h y , где у расстояние от нижнего волокна до горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести. При этом необходимо помнить следующее правило знаков: если деформации элемента ds

от температуры и от единичной силы одного знака, то соответствующие слагаемые в формулах (5.34) и (5.35) будут положительными, и соответственно наоборот.

5.10. Определение перемещений от осадки опор

При перемещениях опор любой статически определимой конструкции в её опорных закреплениях опорные реакции не возникают.

Пусть опора В рамы, представленной на рис. 5.20, получила осадку на величину . При определении линейного перемещения произвольной точки, например к, в единичном состоянии к этой точке в направлении искомого перемещения прикладывают сосредоточенную силу F 1. От действия этой силы определяют опорные реакции.

На основании принципа возможных перемещений можно составить следующую аналитическую зависимость:

В соответствии с третьим уравнением в (5.37) можно записать общую формулу для определения перемещений от i-й осадки опор:

Произведение в (5.37) считается положительным, если опорная реакция направлена в противоположную сторону от осадки опор.

6. РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ

6.1. Понятие о статической неопределимости

Статически неопределимыми называются такие стержневые системы, для оценки напряжённо-деформированного состояния которых недостаточно трёх уравнений статики. Для того чтобы осуществить оценку напряжённо-деформированного состояния таких систем, необходимо составить дополнительные уравнения.

По способу составления таких уравнений (что называется раскрытием статической неопределимости) в строительной механике разработано несколько методов. Одним из первых таких методов был разработан метод сил.

Статически неопределимые системы имеют так называемые «лишние» связи. «Лишними» могут быть как внешние, так и внутренние связи. Поэтому различают как внешнюю, так и внутреннюю статическую неопределимость.

Число лишних связей определяет степень статической неопределимости системы:

где К – количество замкнутых контуров системы; Ш – число однократных шарниров.

Замкнутым считается такой контур, который полностью ограничен стержнями рамы или стержнями и землёй. Цифра 3 означает, что замкнутый контур является трижды статически неопределимой системой.

Выражение (6.1) является частным случаем выражения (1.1) и

81

предназначено для определения статической неопределимости плоских рам. Если после определения степени статической неопределимости n 0, это означает, что рассматриваемая стержневая система не обладает необходимым минимумом связей и поэтому не может быть использована в качестве сооружения. В случае n система обладает необходимым минимумом связей, является статически определимой и при правильном расположении этих связей, не допускающих любой геометрической изменяемости системы, может быть использована в качестве сооружения. В случае n 0 рассматриваемая стержневая система обладает «лишними» связями и поэтому является статически неопределимой и может быть использована в качестве сооружения. Так, для рамы, показанной на рис 6.1, K = 2; Ш = 4.

Подставляя эти данные в выражение (6.1), получим

Х1

Х2

Рис. 6.1

Из выражения (6.2) очевидно, что рама, изображённая на рис. 6.1, является дважды статически неопределимой системой.

Статически неопределимые системы обладают следующими свойствами:

1.В статически неопределимых системах, по сравнению со статически определимыми, при одной и той же нагрузке значения внутренних усилий получаются меньшими.

2.Статически неопределимые системы являются более жёсткими по сравнению со статически определимыми.

3.Разрушение «лишних» связей в статически неопределимых системах не ведёт к разрушению всей системы.

82

4. В статически неопределимых системах температурные воздействия и осадка опор вызывают появление дополнительных усилий в отличие от статически определимых систем.

6.2. Основная система метода сил

Любой способ раскрытия статической неопределимости предполагает выбор для заданной системы основной системы. В методе сил основную систему выбирают из заданной, устраняя «лишние» связи. За «лишние» могут быть приняты как внешние, так и внутренние связи. Внешние связи являются опорными связями, а внутренними являются связи, препятствующие взаимному перемещению двух смежных сечений при мысленном рассечении стержня или удалении из него шарнира.

Для любой статически неопределимой системы существует несколько вариантов основной системы.

Рациональной основной системой является такая, для которой при её решении наиболее просто составляются уравнения статики.

Основная система метода сил должна быть желательно статически определимой и геометрически неизменяемой. Для того чтобы основная система оставалась эквивалентна заданной, вместо устранённых «лишних» связей вводят неизвестные усилия Х. На рис. 6.2 приведены два варианта основной системы. В качестве «лишних» связей выбраны внешние.

Рис. 6.2

83

Наиболее простым представляется ІІ вариант основной системы. На рис. 6.3 для заданной системы приведена основная система, где

за «лишние» выбраны внутренние связи, полученные путём мысленного устранения внутреннего шарнира.

Основная система, принятая для расчёта и нагруженная внешней нагрузкой и усилиями Х, приложенными вместо устранённых связей, будет эквивалентна заданной в случае, если перемещения в этих системах равны между собой.

Если при расчёте удаляются внешние связи, то условием эквивалентности будет равенство нулю перемещений по направлению устранённых связей. Если за «лишние» связи приняты внутренние, то условием эквивалентности будет равенство нулю взаимных перемещений смежных поперечных сечений в месте разреза системы.

Для заданных систем, имеющих n лишних связей, условие эквивалентности имеет вид

1 0; …; i 0; … ; n 0, (6.3)

где i перемещения по направлению удаленных связей.

Используя принцип независимости действия сил, условие (6.3) за-

ной действием k-й неизвестной силы; iF перемещение по направлению i- й удалённой связи от действия нагрузки.

Рис. 6.3

84