Материал: 1753

полученные аналитические выражения внутренних силовых факторов подставляют под знаки интегралов и осуществляют интегрирование, результатом которого является определение величины искомого перемещения.

При этом следует отметить, что если знак найденного перемещения окажется отрицательным, то это означает, что действительное направление искомого перемещения направлено в противоположную сторону действия единичного силового фактора.

5.8. Правило П. Верещагина

На практике часто встречаются случаи, когда на отдельных участках стержни имеют одинаковые физические и геометрические параметры, а одна из подынтегральных функций изменяется линейно. Тогда при учёте только, например, изгибающего момента соответствующее слагаемое интеграла Мора принимает следующий вид:

Подынтегральные функции представляют собой функции, по которым строят соответствующие эпюры (рис. 5.17).

Принимая EJ 1 и переходя к интегрированию по координате х, получим

На рис. 5.16 эпюра Mk представляет собой эпюру, построенную от того или иного силового фактора, равного единице (единичная эпюра), а эпюра Mm представляет собой эпюру, построенную от действия заданной внешней нагрузки. Такую эпюру называют грузовой эпюрой.

75

Таким образом, доказана возможность интегрирования методом перемножения эпюр. Перемножить две эпюры найти площадь одной из них и умножить на ординату, снятую на другой и находящуюся под центром тяжести первой. Знак произведения считается положительным, если обе перемножаемые эпюры находятся по одну сторону стержня. Следует помнить, что если перемножаются две прямолинейные эпюры, то не имеет значения, на какой из них брать площадь, а на какой ординату. Если одна из перемножаемых эпюр является криволинейной, то необходимо брать площадь именно криволинейной эпюры. Перемножать эпюры можно только на тех участках, на которых обе эпюры являются неломаными и жёсткостные характеристики поперечных сечений являются постоянными. В противном случае перемножение эпюр необходимо осуществлять по участкам. Тогда выражение (5.31) примет вид

Суммирование по выражению (5.32) должно осуществляться по всем участкам, по длине которых имеет место непрерывность подын-

тегральных функций Mk и Mm .

В качестве примера (рис. 5.18) покажем перемножение двух трапеций.

Полученное выражение носит название формулы трапеции.

5.9. Определение перемещений от действия температуры

Интеграл Мора, как отмечалось в предыдущем подразделе, может быть представлен в следующем виде:

цевых сечений (рис. 5.19) элемента, имеющего бесконечно малую

смещение торцевых сечений вдоль оси, перпендикулярной оси элемента. В таком виде интеграл Мора может быть использован для определения перемещений не только от действия сил, но и от температуры.

Пусть верхнее волокно элемента ds нагрето на t1, а нижнее на t2. При этом t1 t2 . Распределение температуры по высоте сечения принято по прямолинейному закону. При температурном коэффициенте линейного расширения верхнее волокно удлинится на t1ds, а нижнее на t2ds. На уровне нейтральной оси это удлинение, что очевидно из рис. 5.19, составит полусумму удлинений верхнего и нижнего волокон элемента ds.

Выражение (5.34) соответствует тому состоянию элемента ds, при котором он по всей высоте сечения h получил равномерное изменение температуры. От неравномерного нагрева торцевые сечения элемента ds поворачиваются на угол

Деформация сдвига в элементе ds не возникает, т.е. уn 0.

Подставляя (5.34) и (5.35) в (5.33), получим интеграл Мора для определения температурных перемещений.

ds αt2ds αt2ds 2 2

Рис. 5.19

Интеграл Мора (5.34) значительно упрощается тогда, когда интегрирование ведётся для прямолинейных или ломаных стержней, имеющих по длине постоянное поперечное сечение. В этом случае интегралы могут быть определены, как площади единичных эпюр.