Материал: 1753
5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В УПРУГИХ СИСТЕМАХ
5.1. Основные понятия и обозначения
Всякое сооружение под действием приложенных к нему внешних нагрузок и воздействий (сосредоточенные и распределённые нагрузки, осадка опор, температура и др.) изменяет свою первоначальную форму, т.е. все точки этого сооружения получают перемещения.
Определение перемещений осуществляют для того, чтобы оценить жёсткость сооружения. Для определения перемещений необходимо знать работу внутренних сил, возникающих в сооружении в результате действия на него внешних нагрузок.
В инженерной практике расчёт, связанный с определением перемещений, сводится к определению перемещений от действия внешних нагрузок, не вызывающих напряжений в поперечном сечении больше предела упругости. Такие перемещения называются упругими. Пусть отрезок ab, принадлежащий какому-то элементу конструкции, помещённый в прямоугольную систему координат и имеющий длину ds до деформирования элемента конструкции, занимал положение, показанное на рис. 5.1.
|
y |
|
|
|
|
• b' |
|
vb |
ds+Δds |
Δb |
|
а' |
α +Δα |
||
|
|||
|
• |
• |
|
|
а |
• |
|
|
ds |
||
vа |
b |
||
• |
|||
|
|
||
|
•60 |
α |
|
|
а |
||
|
|
x |
Рис. 5.1
После деформирования элемента конструкции этот отрезок займёт положение a b . При этом длина его изменится на величину ds, а первоначальный угол на величину . Тогда расстояние аа будет составлять полное перемещение точки а, а bb точки b; угловое перемещение отрезка ab; ua и ub есть суть линейные пе-
ремещения точек а и b вдоль оси х соответственно, va и vb вдоль
оси у, w вдоль оси z (это перемещение на рис. 5.1 не показано, т.к. оно перпендикулярно плоскости чертежа).
Рассмотрим определение упругих перемещений. Полное перемещение обозначается символом km . Индексы у перемещения несут следующую смысловую нагрузку: первый индекс (в данном случае k ) указывает на направление искомого перемещения; второй индекс (в данном случае m) указывает на причину, вызвавшую это перемещение. На рис. 5.2 показана иллюстрация индексов перемещений для балок, нагруженных разным типом нагрузок.
Fk
∆mk ∆kk
Mm
∆mm
∆km
Рис. 5.2
61
Перемещения, вызванные действием силовых факторов, равных единице, называются единичными (удельными) и обозначаются km
или mn.
На основе принципа суперпозиции формула для определения перемещений, выраженных через единичные перемещения, принимает вид
∆km = F1 k1 + … + Fi ki + … + Fn km. |
(5.1) |
5.2. Действительная работа внешних сил
При определении работы внешних сил рассматривается статическое приложение нагрузки, когда она в процессе приложения к конструкции достаточно медленно возрастает от нуля до какого-то конечного значения и в дальнейшем остаётся неизменной.
Из сопротивления материалов известно, что работа, производимая силой F1 на перемещении в направлении k, вызванном этой силой, равна площади треугольника ОАВ графика, показанного на рис. 5.3. В соответствии с этим действительная работа внешних сил описывается формулой
А
F
F1 |
1 |
|
|
|
W |
F1 k1. |
(5.2) |
||
|
||||
2 |
0
к1
Рис. 5.3
5.3. Обобщённые силы и обобщённые перемещения
Под обобщённой силой будем понимать любое силовое воздействие. Под обобщённым перемещением будем понимать условное перемещение, определённое из того, что произведение обобщённой силы на обобщённое перемещение равно обобщённой работе. Сказанное
62
поясним примерами. |
|
|
||||||
|
|
a |
b |
|
Пример 1. |
|||
|
|
|||||||
|
F |
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
||||
F |
a' |
|
|
|
b' |
F |
W=F·∆a+F·∆b = F·(∆a+∆b)= F*·∆*, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где F* обобщённая сила; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆a |
∆b |
|
∆* обобщённое перемещение. |
||||
Пример 2.
W=-F·∆a +F·∆b =F·[(ρ +h) ·∆φ - ρ·∆φ]= F·h·∆φ = M* ·∆*,
где M* обобщённая сила;
∆* обобщённое перемещение.
|
|
|
F |
F |
|
|
b |
∆b b' |
|
|
ρh |
|
|
|
|
|
a |
|
a' |
|
|
F |
∆a |
|
|
|
|||
|
|
∆φ |
||
|
ρ |
|
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3.
F 2F 3F 2F 5F
А=F·∆1+2F·∆2+3F·∆3+2F·∆4+5F·∆5=
=F( 1+2 2+3 3+2 4+5 5)= F*·∆*,
где F* =F обобщённая сила;
∆*=( 1+2 2+3 3+2 4+5 |
5) |
∆1 ∆2 ∆3 ∆4 ∆5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
обобщённое перемещение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь же необходимо дать понятие о действительной и возможной работе. При деформации тела внешние силы совершают работу на перемещениях точек приложения этих сил. Внутренние силы совершают работу на соответствующих им деформациях, которые могут быть как линейными, так и угловыми.
Работа называется действительной, если она производится на перемещениях, вызванных теми же силами. Работа называется возможной, если она производится на перемещениях или деформациях,
63
вызванных другими факторами (силами, температурой, осадкой опор и др.).
5.4. Действительная работа внутренних сил
Выделим из конструкции, подверженной внешнему силовому воздействию, бесконечно малый элемент (рис. 5.4) длиной ds, на гранях которого имеют место внутренние силовые факторы M, Q и N.
M Q |
|
Q M |
|
|
ds + ∆ds |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
N |
|
N |
N |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
ds |
Рис. 5.4 |
|
|
Рис. 5.5 |
Внутренние силовые факторы противодействуют изменению длин волокон материала, изгибу, сдвигу. Поэтому действительная работа, создаваемая внутренними силовыми факторами, будет отрицательной. В формулах для определения таких работ в этой связи ставят знак минус.
Найдём работу, совершаемую каждым из этих трёх внутренних силовых факторов на вызванных ими перемещениях.
1. Работа продольных сил.
Силы N вызвали изменение первоначальной длины элемента на величину ds (рис. 5.5).
Из курса сопротивления материалов известно, что изменение длины стержня при деформации «растяжение сжатие», когда на стержень действует сосредоточенная продольная сила N, определяют по формуле
64