Материал: 08 - презентация
Если функция ( ) была определена на функция ( ) определена на отрезке [− , ] этом отрезке условиям теоремы Дирихле.
Фурье функцию ( )
( ) → 20 + ∑∞=1( ∙ cos + ∙ sin )
и возвращаясь к исходной функции, следующее представление рядом Фурье:
отрезке [− , ], то и удовлетворяет на Раскладывая в ряд
получим для нее
( ) → |
0 |
+ ∑∞ |
( |
|
∙ cos |
|
+ |
∙ sin |
|
) , |
(4) |
|
|
|
|||||||||
|
2 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
коэффициенты которого вычисляются по формулам:
0
= |
1 |
|
|
∫− |
( ) , |
||||||
|
|
|
|||||||||
= |
|
1 |
∫− |
( )cos |
|
, = 1,2,3, …, (5) |
|||||
|
|
||||||||||
= |
1 |
|
∫− |
( )sin |
|
, = 1,2,3, … . |
|||||
|
|
||||||||||
Теорема Дирихле остается в силе с той лишь разницей, что в случае произвольного отрезка [− , ] точки = ± заменяются на точки = ± :
( ) = (− ) = 12 ( (− + 0) + ( − 0)).
Равенство Парсеваля принимает вид:
202 + ∑∞=1( 2 + 2) = 1 ∫− 2( ) .
7.5. Ряд Фурье для четных и нечетных функций
|
Если кусочно-непрерывная функция |
|
, определенная на |
|
|
( |
) |
отрезке [− , ], является четной, то |
|
|
|
∫− |
( ) = ∫−0 ( ) + ∫0 ( ) = 2 ∫0 ( ) . |
||
Действительно, сделав замену = −, вычислим
0 0
∫− ( ) = − ∫ (−) = ∫0 ( ) = ∫0 ( ) .
Аналогично устанавливается, что в случае нечетной функции
( ):
0
∫− ( ) = ∫− ( ) + ∫0 ( ) =
= − ∫0 (−) + |
∫0 ( ) = |
= − ∫0 ( ) + ∫0 |
( ) = 0. |
Предположим теперь, что кусочно-дифференцируемая функция( ), определенная на отрезке [− , ], является четной.
Тогда 0 = 1 ∫− ( ) = 2 ∫0 ( ) .
Вычислим остальные коэффициенты Фурье четной функции.
Произведение ( ) |
|
|
также является четной функцией. |
||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
∫ |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
∫ |
|
|
|
||||||
= |
( ) |
= |
|
( ) |
, ( = 1,2,3, … ) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||
Произведение ( ) |
является нечетной функцией. |
||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
( ) |
= 0, ( = 1,2,3, … ). |
||||||||||||||||||
|
∫ |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, тригонометрический ряд Фурье четной функции
содержит только косинусы:
( ) → 20 + ∑∞=1 cos , где0 = 2 ∫0 ( ) ,
= |
2 |
∫ |
( ) |
|
, ( = 1,2,3, … ), |
||
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
||||
= 0, ( = 1,2,3, … ).
Равенство Парсеваля приобретает вид:
2 ∫0 2( ) = 202 + ∑∞=1 2.