Материал: 08 - презентация
Для вычисления коэффициентов |
|
умножим обе части |
||||||||||||
равенства (1) на cos и проинтегрируем на отрезке [− , ]. |
||||||||||||||
∫− ( )cos = |
|
|
|
|
|
|
||||||||
= ∫− 0cos + |
|
|
|
|
|
|
||||||||
+ ∑∞ |
( |
|
∙ |
|
cos ∙ cos + ∙ |
|
|
sin ∙ cos ). |
||||||
=1 |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− |
|
||
Пользуясь тем, что: |
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫− cos ∙ cos = 0, |
если ≠ , |
|
|
|||||||||||
∫− sin ∙ cos = 0, |
для любых |
и , |
||||||||||||
∫− cos2 = |
1 |
∫− (1 + cos2 ) = , |
|
|||||||||||
2 |
|
|||||||||||||
∫− 0cos = 0, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
если ≠ 0, получим ∫ |
|
cos = ∙ , |
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
||
откуда: |
= |
|
∫ |
cos , = 1,2,3, … |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
||
Аналогично, для вычисления коэффициентов умножим обе части равенства (1) на sin и проинтегрируем на отрезке
[− , ], получим:
= 1 ∫− ( )sin , = 1,2,3, …
Чтобы формулы для коэффициентов выглядели единообразно, обозначим 0 = 2 0 = 1 ∫− ( ) .
Итак, для любой функции ( ), кусочно-непрерывной на отрезке [− , ], можно вычислить коэффициенты:
0 = 1 ∫− ( ) ,
= 1 ∫− ( )cos , = 1,2,3, …, (2)= 1 ∫− ( )sin , = 1,2,3, … .
которые называются коэффициентами Фурье этой функции, и поставить в соответствие этой функции ряд:
( ) → |
0 |
+ ∑∞ |
( |
|
∙ cos + |
∙ sin ) (3) |
который |
|
|||||||
|
2 |
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется тригонометрическим рядом Фурье этой функции.
Определение 1. Система функций:
1, cos , sin , cos2 , sin2 , … , cos , sin , …,
на основе которой построен тригонометрический ряд Фурье,
называется основной тригонометрической системой функций.
Эта система на отрезке [− , ] обладает свойством ортогональности: интеграл от произведения любых двух функций этой системы на отрезке [− , ] равен нулю.
7.2. Сходимость ряда Фурье Предполагая, что функция ( ) является кусочно-
непрерывной на отрезке [− , ], поставим этой функции в соответствие ее тригонометрический ряд Фурье.
Предположим теперь, что функция является кусочнодифференцируемой на отрезке [− , ]. Это означает, отрезок [− , ] можно разделить на конечное число отрезков, внутри которых функция дифференцируема, а на концах отрезков имеет не только конечные предельные значения, но и односторонние производные при условии замены на концах этих отрезков значений функции на соответствующие предельные значения.
Теорема Дирихле устанавливает условия сходимости тригонометрического ряда Фурье и связь между значением самой функции и суммой ее тригонометрического ряда Фурье. Сформулируем теорему Дирихле без доказательства. В
формулировке |
теоремы |
используем |
|
выражения ( 0 − 0) и |
|||||||
( 0 + 0) |
для |
обозначения |
односторонних пределов |
функции |
|||||||
|
) |
при |
условии, что |
|
стремится |
к 0 слева |
и справа |
||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
соответственно. |
|
|
|
|
|
определена и кусочно- |
|||||
Теорема Дирихле. Пусть функция |
( |
) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дифференцируема на отрезке [− , ]. Тогда тригонометрический ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке отрезке [− , ], и сумма ( ) этого ряда удовлетворяет следующим условиям:
1) ( 0) = ( 0) во всех точках интервала (− , ), в которых( ) непрерывна,
2) ( 0) = 12 ( ( 0 − 0) + ( 0 + 0)) во всех точках разрыва функции,
3) ( ) = (− ) = 12 ( (− + 0) + ( − 0)).