Материал: 08 - презентация
7. Тригонометрический ряд Фурье
При решении многих технических задач приходится иметь дело с периодическими процессами, для описания которых требуются периодические функции. Простейшей периодической функцией периода 2 является функция sin( + ). При сложении периодических функций
sin( + 1) , = 2
sin(2 + 2) , = 22 ,
…
{sin( + ) , = 2
получим периодическую функцию с периодом 2 .
Естественно возникает обратный вопрос: можно ли заданную периодическую функцию ( ) с периодом 2 представить в виде суммы конечного или бесконечного числа простейших периодических функций вида sin( + ):
( ) = 0 + ∑∞=1 sin( + ) ?
Постоянное слагаемое 0 можно считать периодической функцией с любым периодом, в том числе и с периодом 2.
В механике функция sin( + ) описывает простейшее гармоническое колебательное движение. Представление периодической функции ( ) в виде суммы простейших периодических функций можно рассматривать как разложение сложного колебания на отдельные гармонические колебания. Функции вида sin( + ), входящие в состав разложения периодической функции ( ), называются гармоническими составляющими этой функции или просто гармониками.
Пользуясь тригонометрическим тождеством:
sin( + ) = ∙ + cos ∙ sin , получим
( ) = 0 + ∑∞=1 sin ∙ cos + cos ∙ sin, обозначая sin = , cos = ,
разложение периодической функции ( ) можно переписать в виде:
( ) = |
+ ∑∞ |
( |
|
∙ cos + ∙ sin) . |
(1) |
0 |
=1 |
|
|
|
7.1. Тригонометрический ряд Фурье. Коэффициенты Фурье Пусть функция ( ):
1)определена на всей числовой оси,
2)периодична с периодом 2
3)является непрерывной или кусочно-непрерывной на отрезке [− , ] (функция называется кусочно-непрерывной на отрезке, если она непрерывна во всех точках этого отрезка за исключением конечного числа точек, в которых функция терпит разрыв первого рода, т.е. в этих точках существуют конечные односторонние пределы функции, не равные друг другу).
Предполагая, что ( ) представляется в виде суммы простейших тригонометрических функций, найдем коэффициенты ряда (1). С этой целью проинтегрируем обе части равенства (1) на отрезке [− , ], что оправдано, например, в
случае равномерной сходимости на этом отрезке
функционального ряда, стоящего в правой части равенства (1).
∫− ( ) = ∫− 0 + ∑∞=1( ∙ ∫− cos + ∙ ∫− sin )
Воспользуемся тем, что:
∫− |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
cos = |
sin| |
= 0 , |
|||||||
|
|||||||||
∫− |
|
|
|
|
|
1 |
|
− |
|
sin = − |
cos| = 0 . |
||||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
( |
) |
|
|
|
|
∙ 2 , |
||
Тогда ∫ |
|
= 0 |
|||||||
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда 0 = 21 ∫− ( ) .