Материал: 08 - презентация
Пример |
3. |
Разложить |
в |
ряд |
Фурье |
функцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ) = , (− ; ), = 2 .
Решение: Условиям Дирихле функция удовлетворяет.
Эта функция – нечетная, следовательно = 0, ( = 0,1,2,3, … ),
= |
2 |
|
|
|
sin = ( |
= , =sin |
) = |
||||||||
|
∫ |
1 |
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
= , =− |
|
cos |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
= |
(− |
cos | |
− ∫0 (− |
cos ) ) = |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
∙ (−1) +1 . |
|||
= |
(− |
cos + |
|
sin | ) = |
(− |
) cos = |
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд Фурье содержит только синусы: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
( ) = = ∑∞=1 |
|
2 |
|
∙ (−1) +1 ∙ sin = |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= 2 ( |
sin |
|
− |
sin2 |
|
+ |
sin3 |
|
− ). |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
( |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
− + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
При этом |
± |
|
= |
|
|
|
2 |
= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
График суммы ряда Фурье изображен на рисунке:
Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию ( ) = на интервале (−4; 4).
Решение. Данная функция нечетная, удовлетворяет условиям Дирихле на данном интервале. Функция не является периодической. Продолжим ее на всю числовую ось как периодическую с периодом, равным 8, и разложим полученную периодическую функцию в ряд Фурье.
Ряд Фурье будет содержать только синусы:
( |
|
) |
= = |
∑∞ |
sin |
|
|
, где = |
2 |
|
4 |
sin |
|
, = 1,2, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
Вычислим : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= =sin |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
= |
sin |
= ( |
|
4 |
|
|
|
) = |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4 ∫0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
= =− |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
(− |
|
|
|
|
|
|
|
| |
+ |
|
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
|
| ) = |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
4 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= − |
8 |
= |
8 |
∙ (−1) +1, = 1,2, |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
8 |
|
sin |
|
|
|
sin |
2 |
|
sin |
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
− |
|
+ |
|
− ) для |
всех −4; 4 , |
||||||||||
|
|
= = ( |
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|||||||||||||
( |
) |
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
4 |
|
|
( |
) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
т.е. сумма ряда для всех из этого интервала совпадает с
заданной функцией. |
|
|
= являются совершенно |
Вне этого интервала ряда и |
) |
||
|
( |
|
|
различными функциями. |
|
|
|
Пример |
5. |
Разложить в ряд косинусов функцию |
|||
( ) = |
− |
|
, |
|
0 < < . |
2 |
|
||||
Решение. Продолжим функцию на отрезок (− ; 0) четным
образом:
− , 0 < <
( ) = { +2 , − < < 0 с периодом 2 .
2