Материал: 08 - презентация

7.6. Разложение функций, заданных на полупериоде, в ряд Фурье только по косинусам или только по синусам

Пусть функция ( ) определена и кусочно-дифференцируема на отрезке [0, ]. Желая получить разложение этой функции в ряд Фурье, доопределим ее на промежутке [− , 0) произвольным образом, сохраняя лишь требование кусочной дифференцируемости. Это дает возможность получать различные разложения одной и той же функции в тригонометрические ряды Фурье на отрезке [0, ].

Если, определяя функцию на промежутке [− , 0), будем полагать, что (− ) = ( ) для всех [− , 0), то получим четную функцию, тригонометрический ряд Фурье которой будет содержать только косинусы.

Если, определяя функцию на промежутке [− , 0), будем полагать, что (− ) = − ( ) для всех [− , 0), то получим нечетную функцию, тригонометрический ряд Фурье которой будет содержать только синусы.

Пример 2. Разложить функцию ( ) = 3 − , заданную на отрезке [0,3], в тригонометрический ряд Фурье по косинусам и в тригонометрический ряд Фурье по синусам. Обосновать сходимость каждого ряда Фурье. Нарисовать графики суммы для каждого ряда Фурье.

Решение.