Материал: 08 - презентация
Замечание. Теорема остается справедливой в случае, когда функция ( ) определена на всей числовой оси, является периодической с периодом 2 и на отрезке [− , ] кусочнодифференцируема.
Точнее, в этом случае тригонометрический ряд Фурье этой
функции сходится на всей числовой оси, и сумма |
|
) |
этого ряда |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
||
удовлетворяет условиям: |
|
|
|
|
||||||
1) |
( 0) = ( 0) во всех точках |
прямой |
(−∞, +∞), в |
|||||||
которых |
) |
непрерывна, |
|
|
|
|
||||
|
( |
|
|
|
|
|
|
|||
2) |
( 0) = |
1 |
( ( 0 − 0) + ( 0 + 0)) |
во всех точках разрыва |
||||||
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
функции.
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию ( ) периода 2, заданную на отрезке [− , ] следующим образом:
( ) = {, − ≤ < 0.− , 0 ≤ <
Обосновать сходимость ряда Фурье. Нарисовать график суммы ряда Фурье.
График функции ( ) выглядит так:
Решение. Вычислим коэффициенты Фурье этой функции:
0 |
= |
1 |
|
(∫0 + ∫ ( − ) ) = |
|||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
− |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
( 2 + 2 − |
2 |
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||
= |
|
|
) = |
|
|
|
|
, |
0 |
= |
|
|
. |
||||||||||
|
2 |
2 |
|
4 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
= |
1 |
(∫0 ∙ cos + ∫ ( − ) ∙ cos ) = |
|||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||
|
= − |
= cos |
|
|
|
||||||||||||||||||
= [ = − |
= |
|
1 |
sin |
] = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
= |
(0 + |
sin | |
− |
cos | ) = |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
||||||
= − |
1 |
|
((−1) − 1) = { 2 |
0, = 2 |
|
||
|
|
. |
|||||
|
2 |
, = 2 + 1 |
|||||
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|||
|
= |
1 |
|
( 0 ∙ sin + ( − ) ∙ sin ) = |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
− |
|
0 |
|
|
|
||||||
|
= − |
= sin |
|
|
|
|||||||||||
= [ = − |
= − |
1 |
cos ] = |
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
− |
|
|
1 |
|
|||
= |
(− |
|
cos | |
− |
cos | |
− |
sin | ) = |
|||||||||
|
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
0 |
0 |
|||||||||
= 1 (− + (−1) + ) = (−1) .
Тригонометрический ряд Фурье ( ), соответствующий данной функции, имеет вид:
( ) → 34 + 2 (cos12 + cos332 + cos552 + ) − − (sin − sin22 + sin33 − ).
Поскольку данная функция непрерывна во всех внутренних точках отрезка [− , ], то согласно теореме Дирихле для всех
(− , ) имеет место равенство: ( ) = ( ).
Например, полагая = 0, получим:
= 34 + 2 (1 + 312 + 512 + )
или
∑∞=0 |
1 |
|
= |
2 |
. |
(2 +1) |
2 |
8 |
|||
|
|
|
|
На концах отрезка [− , ] сумма ряда Фурье имеет следующее значение:
(± ) = 12 ( (− + 0) + ( − 0)) = 12 .