Материал: Введение в эконометрику10

Таблица 19. Коэффициент автокорреляции.

τ	r (τ)
0	1
1	0,17
2	0,57
3	0,11
4	0,98
5	0,12
6	0,72
7	0
8	0,97

2.4.3. Задание 2

Вычислить значения циклической компоненты временного ряда по данным таблицы 18. Результаты записать в эту же таблицу.

2.4.4. Выполнение задания 2

Рассматриваемый временной ряд описывается аддитивной моделью, так как амплитуда колебаний уровней ряда практически не зависит от времени (см. рис. 9). По формуле (43) (учитывая, что Tu₂) рассчитываем S₁ – первое приближение циклической компоненты ряда.

Значения S₂ получены усреднением S₁ по периодам. Так как среднее значение циклической компоненты за период для аддитивной модели ряда должно равняться нулю, то выравниваем значения S₂: S₃= S₂-S_{2 ср}, где через S_{2 ср} обозначено среднее значение S₂. Значения циклической компоненты S получены копированием S₃ по всем периодам.

Получив циклическую компоненту, вычислим следующее приближение тренда в предположении, что тренд линеен. Рассчитаем зашумленные значения тренда: T+E=Y-S (см. формулу (40)). Применив к этим значениям МНК (с помощью функции ЛИНЕЙН), получим следующую формулу: T(t)=0,186t+5,72. По этой формуле вычислим значения тренда, а затем, учитывая, что E=Y-T-S, – значения случайной компоненты E.

На рис. 9 компоненты ряда показаны графически. Так как случайная компонента существенно меньше остальных компонент ряда, можно считать, что полученные оценки тренда и циклической составляющей вполне приемлемы.

2.4.5. Задание 3

В первых двух столбцах таблицы 20 приведены поквартальные данные о прибыли компании (в усл. ед.) за последние четыре года. Определить трендовую, циклическую и случайную компоненты временного ряда.

2.4.6. Выполнение задания 3

Из графика зависимости y(t) (см. рис. 11,а) видно, что временной ряд со­держит циклическую компоненту с периодом T_п=4. Построив коррелограмму (которая здесь не приводится), можно удостовериться, что максимум коэффи­циента автокорреляции имеет место при значениях , кратных четырем; это подтверждает, что T_п=4. Окно сглаживания выбираем равным (см. §1.5) пе­риоду циклической составляющей: k=T_п=4.

В третьем и четвертом столбце таблицы 20 приведены результаты рас­чета приближений тренда u₁(t) и u₂(t), полученные так же, как в таблице 18.

Для рассматриваемого временного ряда следует выбрать мультиплика­тивную модель, так как амплитуда колебаний уровней ряда изменяется про­порционально тренду (см. рис. 11,а). По формуле (44) (учитывая, что Tu₂) рас­считываем S₁ – первое приближение циклической компоненты ряда.

Значения S₂ получены усреднением S₁ по периодам. Так как среднее зна­чение циклической компоненты за период для мультипликативной модели должно равняться единице, то от S₂ переходим к следующему приближению циклической компоненты: S₃= S₂/S_{2 ср}, где S_{2 ср} – среднее значение S₂. Значения циклической компоненты S получены копированием S₃ по всем периодам.

Далее вычислим следующее приближение тренда в предположении, что тренд линеен. Рассчитаем зашумленные значения тренда: TE=Y/S (см. формулу (41)). Применив к этим значениям МНК (с помощью функции ЛИНЕЙН), по­лучим формулу для тренда: T(t)=-2,77t+90,57. По этой формуле вычислим зна­чения тренда, а затем – значения случайной компоненты E (E=Y/(TS)). Абсо­лютная погрешность модели рассчитывается по формуле: Eabs=Y-TS.

На рис. 11 компоненты ряда показаны графически. Заметим, что абсо­лютная погрешность существенно меньше уровней ряда и тренда. Кроме того, случайная компонента практически для всех значе­ний t близка к единице. По­этому оценки тренда и циклической составляю­щей вполне приемлемы.

Таблица 20. Данные о прибыли компании

3. Задание на самостоятельную работу

1. В

   Таблица 21

   t	Y
   1987	28,7
   1988	31,7
   1989	31,7
   1990	32,6
   1991	33,9
   1992	31,2
   1993	33,3
   1994	42,6
   1995	46
   1996	49,9

   таблице 21^* представлены данные о производительности труда Y для некоторого предприятия с 1987 по 1996 г. Получить уравнения и графики трендов: линейного, логарифмического, степенного, полиномиального, экспоненциального. Выбрать из них тренд, наиболее соответствующий наблюдениям (сравни­вая значение R²). Для выбранного тренда проверить гипотезу независимости остатков по критерию Дарбина-Уотсона (при n=10 d_н=0,88 d_в=1,32). Зачем надо проверять эту гипотезу?

2. В таблице 22^** приведено среднее число y яиц на несушку на каждый месяц по США с 1938 по 1940 г. Требуется:

   1. построить график y(t) и коррелограмму. Анализируя их, ответить на вопросы: содержит ли ряд линейный тренд? Содержит ли ряд циклическую со­ставляющую? Чему равен период циклической составляющей Тц? Какая модель подходит для описания ряда – аддитивная или мультипликативная?

   2. определить компоненты ряда.

Таблица 22. Среднее число y яиц на несушку