Материал: Введение в эконометрику10

Министерство образования и науки российской федерации федеральное агентство по образованию

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

В.С. Батасова

Практикум по основам эконометрики в среде excel

Учебное пособие по курсу «Эконометрика»

для студентов всех направлений подготовки факультета «Экономика и управление» Гуманитарно-прикладного института МЭИ (ТУ)

Москва Издательство МЭИ 2010

УДК

Б28

Утверждено учебным управлением МЭИ в качестве учебного пособия для студентов

Подготовлено на кафедре «Экономика и управление» ГПИ Рецензенты:

доктор техн. наук, профессор, Ю.А. Горицкий,

кандидат экономич. наук, доцент С.А. Зайчикова

Батасова В.С.

Практикум по основам эконометрики в среде Excel: учебное пособие по курсу «Эконометрика». – М.: Издательский дом МЭИ, 2010.– 68 с.

ISBN

Практикум предназначен для приобретения студентами навыков реше­ния задач эконометрики с целью дальнейшего применения в специаль­ных дисциплинах и практической деятельности. Включает работы по следующим темам: линейная парная регрессия, линейная множественная регрессия, временные ряды, фиктивные переменные, одновременные уравне­ния.

Предназначен для студентов всех направлений подготовки факультета «Экономика и управление» ГПИ МЭИ (ТУ) при изучении курса эконометрики. Может использоваться всеми студентами экономических специальностей.

ISBN © Московский энергетический институт, 2010

Введение

В настоящее время стремительно развиваются науки, связанные с применением математических методов и информационных технологий в различных областях человеческой деятельности. Эконометрика – одна из таких наук.

Эконометрика занимается разработкой и применением статистических методов для определения взаимосвязей между экономическими переменными. Основная цель таких исследований состоит в том, чтобы получить возможность по значениям одних переменных прогнозировать значения других.

Эконометрика – одна из дисциплин, составляющих базовую подготовку экономистов. Она входит в Государственные образовательные стандарты для экономических специальностей как обязательная дисциплина.

Предлагаемый практикум состоит из шести работ, материал которых приблизительно соответствует программе по эконометрике для вузов. Цель практикума – приобретение студентами навыков решения эконометрических задач для дальнейшего применения их в специаль­ных дисциплинах и практи­ческой деятельности.

Задачи взяты из [1-10]. Некоторые задачи упрощены, учитывая небольшой объем часов практических занятий.

Для успешного прохождения практикума необходимо, чтобы студенты были знакомы с основами теории вероятностей и математической статистики в объеме [5 (гл.1, 2), 2] , а также имели навыки работы в среде Microsoft Excel

Выбор табличного процессора Excel как вычислительной среды обусловлен, с одной стороны, наличием в нем достаточно мощных инструментов для эконометрических расчетов (статистические функции, пакет анализа). С другой стороны, в Excel результат можно получить разными способами, в том числе легко сделать проверочные расчеты по формулам, не используя указанные инструменты. Еще одним преимуществом Excel является доступность; несомненно, этот табличный процессор имеет большую популярность, чем любая система статистического анализа данных.

Задания пособия использовались при проведении занятий по эконометрике со студентами различных специальностей дневного и вечернего отделения факультета «Экономика и управление» ГПИ МЭИ в 2005-2008 гг.

Практическая работа №1. Решение задач эконометрики с применением парной линейной регрессии

1. Теоретическая часть

1.1. Уравнение парной линейной регрессии

Пусть функционирование экономического объекта описывается двумя числовыми переменными: входной переменной X и выходной переменной Y. Возможно, что X может изменяться (регулироваться) исследователем, а значе­ние Y получается как результат функционирования объекта.

Предполагается, что Y зависит от X практически линейно:

Y=mX+b+e, (1)

где m и b – детерминированные величины, e – случайная величина.

Выходная переменная Y называется зависимой переменной (или объяс­няемой переменной, или откликом). Входная переменная X называется незави­симой переменной (или объясняющей пере­менной, или фактором, или регрес­сором). Случайную величину e в экономет­рике называют возмущением.

Если математическое ожидание возмущения равно нулю, то функция

f(x)= mx+b

является условным математическим ожиданием Y при заданном значении X=x: f(x)≡M_xY. В этом случае соотношение (1) называется регрессионным уравне­нием. Чтобы подчеркнуть, что переменных всего две, а связь между ними ли­нейная, говорят, что (1) – уравнение парной линейной регрессии. Функция f(x) называется регрессией (линейной) Y по X (или функцией регрессии), а величины m и b – параметрами линейной регрессии (m – коэффициентом, b – сдвигом).

Пусть имеется n наблюдений величин X и Y: (x₁,y₁), (x₂,y₂), …, (x_n,y_n). Из соотношения (1) получаем: y_i=mx_i+b+ε_i, где ε_i – возмущение в i-ом наблюдении, i=1, …, n.

Требуется по наблюдениям найти в некотором смысле наилучшие оцен­ки и значений m и b. Если и получены, то оценку отклика по извест­ному значению фактора x можно определить по формуле:

. (2)

Формулу (2) можно использовать для прогноза значения отклика по инте­ресующему исследователя значению фактора.

1.2. Оценивание параметров уравнения линейной регрессии

Для получения оценок и традиционно используется метод наимень­ших квадратов (МНК). В соответствии с МНК значения и определяются из условия минимума остаточной суммы, которая равна сумме квадратов от­клонений наблюдений отклика y_i от оценок, полученных с помощью соотношения (2).

Обозначим: – оценка отклика для i-го наблюдения, i=1, …, n; – отклонение наблюдения отклика от оценки; величины e_i называются остатками; Q_e – остаточная сумма.

Графически определение остатков поясняется на рис. 1. Координатная плоскость, на которой нанесены точки наблюдений, назы­вается полем корреляции.

С учетом принятых обозначений остаточная сумма является суммой квадратов остатков и задается формулой:

(3)

Ясно, что чем меньше Q_e, тем лучше оценки соответствуют наблюдениям. Из необ­ходимого условия экстремума Q_e (равенства ча­стных производных по и нулю) можно получить формулы для оценок параметров уравнения линейной регрессии:

, (4)

. (5)

В формулах (4) и (5) использованы обозначения: – выборочная ковариация переменных X и Y, – выборочная дисперсия переменной X, и – выборочные средние значения X и Y, соответственно.

Определения перечисленных выше выборочных характеристик приводятся в Приложении. Вывод формул (4) и (5) дается, например, в [5].

1.3. Понятие тесноты связи

Заметим, что сдвиг b нельзя считать объективной характеристикой зависимости Y от X, потому что его величина определяется выбором начала координат. Из соотношения (5), в частности, следует, что для МНК-оценок прямая, задаваемая уравнением (2), всегда проходит через точку ( ). Подставив (5) в (2), после несложных преобразований получим:

. (6)

Это соотношение связывает отклонения оценки отклика и фактора от их выборочных средних значений. Переход от величин к их отклонениям от сред­него называется центрированием этих величин. Заметим, что значение в соот­ношении (6) не присутствует.

На первый взгляд кажется, что по величине коэффициента можно су­дить о степени зависимости Y от X: чем больше , тем сильнее зависимость. Это не совсем так, потому что на величину влияет выбор единиц измерения X и Y. Для получения более объективной, чем , характеристики зависимости X и Y, следует найти связь между их нормированными значениями. Нормировку обычно проводят делением величины X (и, соответственно, Y) на ее выбороч­ное среднее квадратичное отклонение s_x (s_y). Разделим обе части соотноше­ния (6) на s_y, а затем правую часть умножим и разделим на s_x. Тогда получим:

(7)

где введено обозначение:

Величина r называется выборочным коэффициентом корреляции (см. Приложение). Коэффициент r показывает, на сколько значений s_y в среднем увеличится отклик, если фактор увеличится на s_x. Говорят, что выборочный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между X и Y.

Известно, что |r| ≤1. Чем ближе |r| к 1, тем теснее связь между X и Y; чем ближе |r| к 0, тем слабее связь. При r=1 точки наблюдений лежат на прямой, задаваемой соотношением (2). При r=0 прямая (2) параллельна оси абсцисс, и связь между X и Y отсутствует. Примеры тесной и слабой связи даны на рис.2.

1.4. Классическая нормальная линейная регрессионная модель

Рассмотрим вопрос о качестве МНК-оценок (4) и (5). Эти оценки обла­дают многими хорошими свойствами, если величины в уравнении (1) удовлетворяют следующим условиям.

• X – детерминированная величина;

• e₁, …,e_n – независимые нормальные одинаково распределенные случайные величины: e_i~N(0,s²), M(e_ie_j)=0 при ij.

При выполнении этих условий соотношение (1) называется классической нор­мальной линейной регрессионной моделью.