Материал: Введение в эконометрику10

Заметим, что остаточная сумма этого уравнения равна остаточной сумме кусочно-линейной модели Q₁.

Уравнение (45) значимо, так как f(0,05, 3, 7)=4,35, и F>f(0,05, 3, 7). Проверим значимость факторов этого уравнения. Рассчитаем абсолютные значения статистик Стьюдента по формуле (36а): =2,44/0,687=3,56; 2,27/0,873=2,60; =19,65/11,03=1,78.

Сравнивая эти значения с порогом t(0,05, 7)=2,36, получаем, что факторы X и ZX значимы, а фактор Z незначим (см. формулу (37)). Следовательно, за­бастовка существенно повлияла на коэффициент уравнения парной линейной регрессии и практически не повлияла на сдвиг. Этот вывод иллюстрируется рис.13, где показаны тренды непрерывной и кусочно-линейной моделей.

2.3. Проверка значимости сезонных изменений временного ряда

2.3.1. Задание*

В практической работе №4 были определены трендовая и циклическая компоненты временного ряда (таблица 18 – зависимость объема Y потребления энергии от времени t). Здесь предлагается проверить значимость сезонных изменений этого ряда по критерию Г. Чоу.

2.3.2. Выполнение

Оставляем в таблице 18 только первые 2 столбца с исходными данными (t, y). По этим данным исследуем непрерывную модель – уравнение Y=mt+b – с помощью функции ЛИНЕЙН. Уравнение является значимым (предлагается убедиться в этом самостоятельно). Остаточная сумма уравнения Q₀=49,70, ее число степеней свободы k₀=14.

Далее дополняем таблицу данных столбцами со значениями фиктивных пере­менных, определяемых формулами (50), и столбцами со значениями перемен­ных Z₁X, Z₂X, Z₃X, – всего шесть дополнительных столбцов. По получен­ной таблице оцениваем характеристики уравнения (51), т. е. кусочно-линейной модели. Остаточная сумма уравнения Q₁=0,624, ее число степеней свободы k₁=8. Отсюда Q=Q₀-Q₁=49,076, k=k₀-k₁=6. Статистика Г. Чоу равна F_Чоу=104,87, ее пороговое значение равно f(0,05, 6, 8)=3,58. Неравенство (49) справедливо, т. е. гипотеза о незначимости сезонных изменений отклоняется.

Предлагаем читателю самостоятельно проверить значимость уравнения (51), а также убедиться, что его коэффициенты b₁, b₂, b₃ являются значимыми, а m₁, m₂, m₃ незначимыми. Какой вывод из этого следует?

3. Задание на самостоятельную работу.

1. В таблице 29 представлены количество внесенных минеральных удобрений X и урожайность пшеницы Y для двух видов вспашки – зяблевой и весенней. Предполагая зависимость Y(X) линейной, по критерию Чоу и методом фиктивных переменных определить, влияет ли вид вспашки на зависимость Y(X). Определить также, на какой параметр (коэффициент или сдвиг) уравнения регрессии влияет вид вспашки.

Таблица 29. Количество удобрений и урожайность пшеницы

2. В таблице 30^* представлена зависимость Y (объем инвестиций в экономику США) от X (ВВП) c 1939 по 1954 г. Используя критерий Чоу и метод фиктивных переменных, ответить на вопросы: есть ли различие между зависимостью Y(X) в мирное и военное время? Есть ли различие между зависимостью Y(X) до войны и после войны? В изменении каких параметров уравнения регрессии проявляется эти различия?

Таблица 30. Объем инвестиций и ВВП

3. В практической работе №4 были определены трендовая и циклическая компоненты зависимости прибыли компании Y от времени t (таблица 20). Проверьте значимость сезонных изменений этого ряда по критерию Г. Чоу.

Практическая работа №6. Одновременные уравнения

1. Теоретическая часть

1.1. Понятие системы одновременных уравнений

До сих пор мы рассматривали задачи, в которых функционирование объекта описывалось одним откликом и, возможно, несколькими факторами. Однако в эконометрике часто встречаются ситуации, когда необходимо рас­смотреть несколько откликов, причем каждый отклик может зависеть от дру­гих откликов. Иначе говоря, отклик одного уравнения системы может яв­ляться фактором другого уравнения. Общий вид системы одновременных уравнений:

З десь p – число факторов; x₁, …, x_p – факторы; m – число откликов; y₁, …, y_m – отклики; γ_ij – коэффициент, связывающий j-й фактор и i-й отклик (j=1, …, p, i=1, …, m); _ik – коэффициент, связывающий k-й и i-й отклики (k=1, …, m, при i=k _ik=0); ε₁, …, ε_m – возмущения.

Факторы в системе одновременных уравнений также называют экзогенными (внешними) переменными, а отклики – эндогенными (внутренними) переменными.

Если рассмотреть n наблюдений, то для каждого наблюдения надо записать систему вида (52). Таким образом, получаем nm уравнений с [m(p+m-1)] неизвестными (коэффициентами  и γ).

В матричном виде соотношение (52) записывается следующим образом:

Y=AY+X+ε, (53)

где Y=(y₁, …, y_m), X=(x₁, …, x_p), ε=(ε₁, …, ε_m),

Рассматривается также следующая запись системы одновременных уравнений:

Y+X=ε (54).

Очевидно, что =I-A (где I – единичная матрица), =-.

Система (54) (или (53), (52)) называется структурной моделью. Эта модель определяется из смысловых, эконометрических соображений.

1.2. Некоторые методы решения систем одновременных уравнений

Непосредственное применение МНК к системе (52) называется прямым МНК. Такой подход не дает хороших результатов, так как в правых частях уравнений стоят зависимые переменные y_i, и поэтому не выполняются условия классической нормальной линейной регрессионной модели.

Обычно первым шагом в решении системы одновременных уравнений является определение с помощью МНК параметров регрессии Y по X, т. е. оп­ределение матрицы  в соотношении:

Y=X+ (55).

Соотношение (55) называется приведенной моделью. Очевидно, что (если ^-1 существует): =-^-1, =^-1 ε.

Далее надо по параметрам  приведенной модели определить пара­метры (, ) структурной модели. Если существует однозначное преобразова­ние от  к (, ), то структурная модель называется идентифицируемой, а ме­тод ее оценивания косвенным методом наименьших квадратов.

Если такого преобразования не существует, то оценки подставляются в правую часть системы (52), и для оценивания ее пара­метров опять применяют МНК. Такой подход называется двухшаговым мето­дом наименьших квадратов.

Кроме идентифицируемых систем, говорят также об идентифицируемых параметрах. Это параметры структурной модели, которые однозначно выражаются через параметры приведенной модели. Идентифицируемыми уравнениями называются уравнения структурной модели, все параметры которой идентифицируемы.