Материал: Тишин ВБ Новоселов АГ Процессы переноса в технолог аппаратах

Ar3

С3 3m .

Подставляя значение C3 в равенство (5.77), запишем

Подставив значение C4 в равенство (5.78), запишем уравнение профиля скоростей в нисходящем потоке:

Уравнения (5.76) и (5.79) описывают профили локальных скоростей от оси аппарата до стенки. В них требуется найти значения радиусов r0 и rm. Нетрудно доказать, что

r R r0 . (5.80)

Радиус r0 можно найти из условия равенства объѐмных расхо-

дов жидкости в восходящем и нисходящем потоках.

Расход жидкости через любое сечение определяется уравнением (13). После подстановки в него уравнения (5.76) или (5.79) получим уравнения для расчѐта объѐмного расхода жидкости в восходящем и нисходящем потоках:

176

Для определения радиуса r0 воспользуемся системой MathCad. Для наглядности рассмотрим конкретный пример движения жидко-

где r0 = 0,0001 – начальная произвольно заданная величина. Результаты расчѐтов, представленные на рис. 5.5 в виде графи-

ческого изображения профиля скорости по радиусу аппарата, позволяют сделать определѐнные выводы.

Во-первых, средние значения скоростей движения жидкости в восходящем и нисходящем потоках различны ( wв 3,33 м/с; wн 2,076 м/с), и они настолько высоки, что течение не может быть ламинарным. Ламинарный режим возможен при очень малых значениях T .

Во-вторых, при турбулентном режиме движения жидкости, как уже было сказано в подразд. 2.5, профиль скорости по сечению потока отличается от профиля при ламинарном течении. Турбулентные потоки, согласно двухслойной модели Прандтля, делятся на две зоны, в которых профили скоростей описываются системой двух уравнений (2.76). Поэтому температура по сечению потока не может изменяться по линейному закону. Линейно она меняется только в при-

177

стенном слое. В турбулентном ядре она изменяется мало, так же как и скорость.

В-третьих, при турбулентном режиме движения не будет чѐткой границы между восходящим и нисходящим потоками, как это предполагается при ламинарном. Здесь мы имеем дело с так называемой свободной турбулентностью, в условиях которой будет постоянно происходить обмен турбулентными вихрями между противоположно направленными потоками. Желающие более подробно ознакомиться с решением задач процессов переноса при свободной турбулентности могут обратиться к работе [2, с. 673–700].

ux, м/с

R

rm

r0

Указанные обстоятельства приводят к тому, что радиус r0 , устанавливающий границу между потоками, будет постоянно меняться. Найти можно лишь его некое осреднѐнное значение r0 . Решение за-

дачи по определению радиуса сильно усложняется. Мы не будем пытаться еѐ сейчас решать, а наметим лишь путь решения.

Так же как и при ламинарном режиме движения, r0 находится из условия равенства расходов Qв и Qн . Однако входящие в уравнения (5.81) и (5.82) значения локальных скоростей uxv и uxn следует

178

находить из уравнений (2.76). Но здесь возникает другая сложность, связанная с определением динамической скорости u . В данном случае можно воспользоваться уравнением (5.33).

Динамическая скорость является мерой интенсивности турбулентных пульсаций [2, стр. 543] и зависит от источника их возникновения. В рассматриваемом нами аппарате источников турбулентности два: касательные напряжения на стенке и относительная скорость движения восходящего и нисходящего потоков. Но интенсивность этих источников (при заданной температуре теплообменной поверхности) определяется разностью температур T . Последняя, в свою очередь, зависит от тепловой энергии Ek , выделяемой дрожжевыми

клетками в процессе сбраживания сусла и рассчитываемой либо по уравнению (3.26), либо по (3.27). Для пивных дрожжей численный коэффициент в уравнении (3.27) должен быть иной. Таким образом, аналогично уравнению (5.47), суммарную диссипацию энергии можно выразить равенством

нию (1.41а); Eo – диссипация энергии, обусловленная относительным движением потоков.

Значение Ek находят экспериментально. Зная Ek и E , можно

определить и E .

Исходя из указанных соображений, динамическую скорость вычислим по уравнению (5.33), заменив в нѐм E на Ek . В итоге получим

5.4.2. Теплообмен

Аналитическое решение задачи по теплообмену между стенкой аппарата и жидкостью при естественной конвекции значительно затруднено, поэтому в литературе приводятся уравнения для расчѐта

179

В уравнении (5.85) Gr g R2T / 2 – критерий Грасгофа. Он связан с критерием Рейнольдса зависимостью

Gr B Re,

где коэффициент B зависит от формы поперечного сечения канала. При турбулентном режиме движения коэффициент теплооб-

мена между стенкой аппарата и жидкостью можно определить и по уравнениям (5.4), (5.18) и (5.84), из которых следует, что в условиях естественной конвекции уравнение для расчѐта коэффициента теплообмена принимает вид

Из уравнений (5.84) и (5.86) наглядно видна связь динамической скорости u , определяющей гидродинамические условия в аппарате, коэффициента теплообмена с удельной скоростью прироста биомассы и со скоростью выделения дрожжевыми клетками теплоты Ek в условиях естественной конвекции.

180