Об этом же сообщает Л.Краусс в книге «Почему мы существуем?» [7]: «.. .Дирак предложил способ расчета всех таких вероятностей (вероятностей траекторий частиц - Н.Н.Б.) и их суммирования для определения квантово - механических шансов на то, что частица, вылетающая из точки A, в конечном итоге окажется в точке B. Ричард Фейнман, в то время студент-старшекурсник, услышав о статье Дирака на пивной вечеринке, математически вывел конкретный пример, на котором продемонстрировал, что эта идея работает. Взяв посыл Дирака в качестве стартового момента, Фейнман получил результаты, идентичные тому, что можно было получить с использованием подходов Шредингера и Гейзенберга, по крайней мере, в простых случаях» [7, с.136]. Автор добавляет: «.. .Короткая статья Дирака 1933 г., где он предложил новый подход к квантовой механике, подтолкнула Фейнмана к работе, которая в итоге принесла ему Нобелевскую премию» [7, с.134].
Укажем, что Р.Фейнман не изобретал континуальный интеграл, нашедший применение в его методе интегрирования по путям. Этот интеграл, уже существовавший в математике, был использован Р.Фейнманом в квантовой механике в качестве полезного средства решения квантово - механических задач. Континуальный (функциональный) интеграл появился в математике благодаря американскому математику, родоначальнику кибернетики Норберту Винеру (1894-1964), который использовал его для описания статистических свойств броуновского движения. Работа Н.Винера (1924) развивала математическое исследование броуновского движения, проведенное А .Эйнштейном (1905). Ж.Зинн-Жюстен в монографии «Континуальный интеграл в квантовой механике» [8] отмечает: «.Первым, кто предложил идею континуального интеграла, был Винер, который, будучи мотивирован известной работой Эйнштейна, использовал его в качестве инструмента для описания статистических свойств броуновского движения. Броуновское движение можно рассматривать как непрерывный предел марковского случайного блуждания с дискретными временными интервалами» [8, с.16].
Аналогичные сведения можно найти в статье Е.П.Жидкова и Ю.Ю.Лобанова «Метод приближенного континуального интегрирования в задачах математической физики» [9], где авторы констатируют: «Начало математически строгому изучению континуальных интегралов по счетно - аддитивным мерам было положено в работах Н.Винера [39], который ввел в пространстве непрерывных на отрезке функций меру континуального интегрирования, носящую теперь его имя. Следует отметить, что сам термин континуальный (или функциональный) интеграл следует применять именно к интегралам по определенной мере в заданном пространстве, хотя в русском языке он часто используется как синоним понятия интеграла по траекториям, при определенных условиях являющегося физической интерпретацией континуального интеграла в частном случае квантовой физики» [9, с.175].
Здесь [39] - работы Н.Винера 1923 и 1924 гг.
В руках Р.Фейнмана континуальный интеграл стал средством выражения (описания) амплитуды перехода квантовой системы из начального состояния в конечное.
Вернемся к самому алгоритму метода интегрирования по траекториям, разработанного Р.Фейнманом. Ключевой идеей, использующейся в этом методе, является представление о том, что квантовая частица одновременно движется по всем возможным траекториям (множеству мыслимых траекторий), а максимальная вероятность определенной траектории соответствует действительному пути, для которого вариация некой величины равна нулю. По мысли Р.Фейнмана, чтобы определить эту максимальную вероятность, нужно суммировать вклады всех возможных траекторий в полную амплитуду вероятности. Другими словами, Р.Фейнман постулировал, что амплитуда вероятности какого-либо события равна интегралу по траекториям, который берется по всем значениям потенциалов вдоль всех путей в каждой точке пространства-времени.
Как Р.Фейнман пришел к этой ключевой идее, лежащей в основе его метода интегрирования по траекториям? По аналогии с принципом Гюйгенса - Френеля. В 1678 г. Христиан Гюйгенс сформулировал принцип, согласно которому каждая точка фронта световой волны является источником вторичных (новых) световых сферических волн. В 1815 г. Огюстен Френель дополнил это утверждение Гюйгенса, введя представление о когерентности и интерференции элементарных волн. В результате принцип Гюйгенса, ныне называемый принципом Гюйгенса - Френеля, стал звучать следующим образом: каждый элемент волнового фронта можно рассматривать как центр вторичного возмущения, порождающего вторичные сферические волны, а результирующее световое поле в каждой точке пространства будет определяться интерференцией (суммированием фаз) этих волн. Рассуждая по аналогии, Р.Фейнман пришел к выводу, что максимальная вероятность траектории квантовой частицы определяется суммированием вкладов всех ее возможных траекторий. Отметим, что до Р.Фейнмана принцип Гюйгенса - Френеля использовал Эрвин Шредингер, автор знаменитого волнового уравнения Шредингера.
В.Э.Терехович в диссертации «Философско -методологические проблемы принципа наименьшего действия» [10] пишет: «После подсказки Дирака Ричард Фейнман в 1940-х годах в своей докторской диссертации [220] использовал ту же самую идею Гюйгенса, которая ранее помогла Шредингеру, и предложил новый подход к квантовой физике. Фейнман предположил, что квантовая частица одновременно движется по всем возможным траекториям, но волны вероятности гасятся в точке прибытия так, что максимальная вероятность падает на узкий пучок траекторий вокруг действительного пути, для которого вариация действия равна нулю» [10, с.49].
Этот же факт рассматривается в статье В.Э.Тереховича «Вероятностный и геометрический язык физики в контексте принципа наименьшего действия» [11]: «В 1942 г. Р.Фейнман [22] использовал идеи Х.Гюйгенса и О.Т.Френеля, ранее вдохновившие Э.Шредингера на его волновое уравнение, и предложил свою формулировку квантовой механики. Фейнман заменил классическое представление о движении тела по «одиночной» и уникальной траектории представлением о движении по бесконечному множеству мыслимых траекторий, что математически описывается функциональным интегралом по этим траекториям. Частица движется одновременно по всем возможным траекториям, но волны вероятности этих путей гасятся в конечной точке траектории так, что максимальная вероятность отвечает действительному пути, для которого вариация некой величины равна нулю» [11, с.84].
Исходные посылки процедуры интегрирования по путям известны также другим авторам. Так, В.Н.Мансуров в статье «О возможном релятивистском обобщении фейнмановского подхода к квантовой механике» [12] отмечает: «В 1948 г. Р.Фейнман предложил теперь хорошо известную третью формулировку квантовой механики [1]. Фейнмановская формулировка квантовой механики является, по существу, формулировкой принципа Гюйгенса на языке функционального интегрирования» [12, с.46].
Здесь [1] - оригинальная работа Р.Фейнмана, в которой он подробно изложил свой метод суммирования траекторий: Feynman R. Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics // Reviews of Modem Physics. - 1948. - Vol.20. - № 2. - P.367-387.
Кстати, в данной работе Р.Фейнман откровенно пишет о том, что он опирался на принцип Гюйгенса (мы приводим русский перевод фрагмента его статьи): «Принцип Гюйгенса в волновой оптике выглядит следующим образом: если амплитуда волны равна амплитуде, известной для данной поверхности, то амплитуду волны в близлежащей точке можно рассматривать как сумму вкладов всех точек поверхности». Далее в своей статье Р.Фейнман проводит аналогию между этой формулировкой принципа Гюйгенса и своей идеей об определении траектории квантовой частицы.
Аналогия четвертая: упрощение метода диаграмм Фейнмана
Известно, что важным этапом на пути создания общей теории относительности (теории гравитации) было открытие принципа эквивалентности. А.Эйнштейн открыл данный принцип в 1907 г., когда обнаружил аналогию между силами инерции и силами гравитации. Конкретно, А.Эйнштейн обратил внимание на сходство между двумя физическими процессами: движением в равномерно ускоренной системе координат и движением в однородном гравитационном поле. Принцип эквивалентности упрощал математические вычисления, производимые в рамках общей теории относительности (ОТО): стало ясно, что однородное гравитационное поле можно заменить равномерно ускоренной системой отсчета.
В исследованиях Р.Фейнмана, связанных с разработкой метода интегрирования по траекториям, который он дополнил графическим изображением траекторий частиц (диаграммами Фейнмана), также не обошлось без упрощений. В 1949 г. Джон Уилер, научный руководитель Р.Фейнмана в период его пребывания в аспирантуре, ознакомил его со своей новой идеей, согласно которой все частицы эквивалентны электрону. Д.Уилер использовал теорию мировых линий немецкого математика Германа Минковского (1864-1909). Теория утверждала, что в четырехмерном пространстве-времени движение объектов должно описываться мировыми линиями, ввиду чего все процессы во Вселенной сводились к этим мировым линиям. Д.Уилер предположил, что мировая линия, соответствующая движению электрона в одном направлении, будет эквивалентна мировой линии, соответствующей движению позитрона (антиэлектрона) в другом направлении. По мысли Д.Уилера, позитрон можно рассматривать как электрон, который движется назад во времени (не из прошлого в будущее, а из будущего в прошлое).
Несмотря на экстравагантность этой идеи, она имела серьезные последствия. Р.Фейнман не согласился с мыслью Д.Уилера о том, что электроны являются основой всех частиц, но нашел продуктивным его предположение, постулирующее, что позитроны - это электроны, идущие из будущего в прошлое (если рассматривать сечения их мировых линий). Р.Фейнман догадался, что данное предположение позволяет упростить вычисления, производимые в его теории, призванной стать основой квантовой электродинамики.
Д.Гриббин и М.Гриббин в книге «Ричард Фейнман: жизнь в науке» [2] повествуют: «...В дерзкой идее Уилера содержался зачаток важной концепции, которую Фейнман впоследствии развил совсем в другом направлении. Это была мысль о том, что изменение направления движения электрона во времени эквивалентно изменению знака его заряда, так что электрон, который движется вперед во времени, - это позитрон, который движется назад во времени, и наоборот. Во всех квантово -механических вычислениях позитроны можно просто-напросто представить в виде электронов, которые движутся из прошлого в будущее, подобно опережающим волнам в обычно пренебрегаемом решении уравнений Максвелла.» [2, с.85].
Сам Р.Фейнман в своей Нобелевской лекции [4] говорит об идеях своего научного руководителя: «Я не воспринял серьезно его идею о том, что все электроны эквивалентны. Однако я ухватился за его мысль о том, что позитроны можно представлять просто как электроны, идущие из будущего в прошедшее в обратном сечении их мировых линий. Вот это я и присвоил!» [4, с.36].
Таким образом, разрабатывая математический аппарат квантовой электродинамики, Р.Фейнман постулировал эквивалентность между электронами и позитронами (аналогию между этими частицами) точно так же, как А.Эйнштейн постулировал аналогию между силами инерции и силами гравитации в своей общей теории относительности. Еще раз подчеркнем, что эта аналогия была подсказана Р.Фейнману его научным руководителем Джоном Арчибальдом Уилером, который в дальнейшем займется астрофизической проблемой звезд, обладающих колоссальной массой, и введет понятие «черных дыр».
Анализируя последствия использования данной аналогии, известный отечественный ученый Ю.И.Манин в книге «Математика как метафора» [13] указывает: «Фантастическая мысль Уилера, что все электроны тождественны потому, что представляют собой мгновенные сечения запутанной в клубок мировой линии одного электрона, привела Фейнмана к изящному упрощению диаграммной техники вычислений в квантовой теории поля» [13, с.165]. квантовый электродинамика векторный ток
Аналогия пятая: теоретическое описание полярона
Р.Фейнман в монографии «Статистическая механика» [14] дает следующее определение полярона: «Электрон в ионном кристалле поляризует решетку в некоторой окрестности вокруг себя. Взаимодействие меняет энергию электрона; кроме того, когда электрон движется, поляризационное состояние должно двигаться вместе с ним. Электрон, движущийся с сопутствующим ему искажением решетки, иногда называют поляроном. Его эффективная масса больше массы электрона. Наша задача состоит в вычислении энергии и эффективной массы такого электрона» [14, с.252].
По свидетельству Н.Н.Боголюбова - младшего [15], проблема полярона, то есть проблема электрона, движущегося вместе с упомянутым искажением решетки кристалла, представляла собой достаточно важную проблему физики твердого тела. «Она, - говорит автор, - стала своеобразной лабораторией, в которой создавались и опробовались новые методы квантовой физики перед тем, как они получили широкое применение в других ее областях. В качестве одного из наиболее ярких примеров можно привести метод функционального интегрирования, созданный Р.П.Фейнманом, испробованный на проблеме полярона и ставший впоследствии одним из основных методов квантовой теории поля и статистической механики» [15, с.60].
В 1955-1962 годах Р.Фейнман интенсивно занимался проблемой полярона и сумел вычислить энергетический спектр и эффективную массу полярона. Важным условием успешного решения проблемы явилось использование Р.Фейнманом техники континуального интегрирования (метода интегрирования по путям). Как же ученый догадался, что этот метод окажется полезным в физике твердого тела? Однажды он нашел статью Г.Фрелиха о поляронах в кристаллах галогенидов. Р.Фейнман обнаружил аналогию между электроном в поле фононов (колебаний кристаллической решетки) и частицей, взаимодействующей с полем мезонов - частиц, участвующих в сильном ядерном взаимодействии. На базе этой аналогии он решил: если я могу описать с помощью техники континуального интегрирования частицу, взаимодействующую с полем мезонов, то почему бы не применить ту же технику при исследовании электрона, взаимодействующего с колебаниями решетки?