Институт психологии РАН Россия
Сила аналогий. Творчество Ричарда Фейнмана
Новиков Н.Б.
г. Москва
Аннотация
Ранним октябрьским утром 1965 года Р.Фейнман был разбужен телефонным звонком, поступившим из Шведского Нобелевского комитета. Американский ученый узнал, что ему присуждена Нобелевская премия - награда за фундаментальные работы по квантовой электродинамике. Р.Фейнман всерьез размышлял о том, чтобы отказаться от награды, но репортер журнала « Time» проинформировал его, что отказ от премии вызовет еще большую суматоху и сенсацию, чем ее присуждение и принятие. Студенты Калифорнийского технологического института, восхищенные своим профессором, вывесили на здании администрации плакат с надписью «Ричард Фейнман победил». В декабре 1965 г. Ричард его супруга, прибыв в Стокгольм, приняли участие в церемонии награждения. Примечательно, что, помимо квантовой электродинамики, Р.Фейнман внес существенный вклад и в другие области физической науки. Анализируя историю его идей, связанных с этим вкладом, рассмотрим роль аналогии в этой истории (в генезисе важных научных результатов Р.Фейнмана).
Ключевые слова: новые идеи, физические теории, обнаружение сходства, проведение аналогии.
Abstract
On an early October morning in 1965 R. Feynman was woken up by a phone call from the Swedish Nobel Committee. An American scientist learned that he had been awarded the Nobel Prize - an award for fundamental work in quantum electrodynamics. R. Feynman seriously considered giving up the award, but a Time magazine reporter informed him that the refusal of the award would cause even more turmoil and sensation than its award and acceptance. Caltech students, admiring their professor, hung a poster on the administration building that read “Richard Feynman won ”. In December 1965, Richard and his wife, having arrived in Stockholm, took part in the award ceremony. It is noteworthy that, in addition to quantum electrodynamics, R. Feynman made a significant contribution to other areas of physical science. Analyzing the history of his ideas related to this contribution, let us consider the role of analogy in this history (in the genesis of R. Feynman's important scientific results).
Key words: new ideas, physical theories, discovery of similarities, drawing analogies.
Аналогия первая: создание полуклассической теории взаимодействия заряженных частиц
В 1935 г. Р.Фейнман поступил в Массачусетский технологический институт (МТИ) и спустя четыре года окончил его с дипломом бакалавра по физике. В МТИ он узнал, что наиболее важной проблемой того времени было неудовлетворительное состояние квантовой теории электричества и магнетизма (квантовой электродинамики). Данная теория изучает взаимодействия между элементарными частицами, а также между частицами и окружающим их электромагнитным полем. Ученые, использовавшие теорию, сталкивались с такими парадоксальными моментами, как бесконечная масса и бесконечный заряд электрона. Специалисты пришли к выводу, что источником этих бесконечностей является действие электрона (его поля) на самого себя, т.е. само-воздействие. С этой точкой зрения согласился и Р.Фейнман, который, поступив в 1939 г. в аспирантуру Принстонского университета, приступил к поиску средств решения проблемы. Молодой ученый писал диссертацию под руководством Джона Арчибальда Уилера (1911-2008), который был всего на семь лет старше Р.Фейнмана. Д.Уилер сразу же предложил ему использовать в разрабатываемой модели опережающие и запаздывающие волны - электромагнитные волны, которыми обмениваются два электрона, разделенные определенным расстоянием.
В начале 1940-х годов Р.Фейнман доложил о своей работе по пространственно-временной электродинамике на одном из собраний Американского физического общества. На этом собрании, в частности, присутствовали Альберт Эйнштейн, Вольфганг Паули, Джон фон Нейман,
Юджин Вигнер. Р.Фейнман сформулировал ряд принципов своей теории взаимодействия частиц:
Ускорение точечного заряда определяется только суммой его взаимодействий с другими заряженными частицами. Заряд не действует сам на себя.
Силу взаимодействия, с которой один заряд действует на другой, можно рассчитать по формуле силы Лоренца, в предположении, что поля создаются первым зарядом, в соответствии с уравнением Максвелла.
Фундаментальные уравнения инвариантны относительно изменения знака времени. Позже ученый уточнил этот принцип: фундаментальные (микроскопические) явления в природе симметричны (инвариантны) по отношению к чередованию прошлого и будущего.
В.Паули, несмотря на свой скептицизм, оценил важность третьего принципа. Он обратил внимание Р.Фейнмана и Д.Уилера на то, что еще Эйнштейн упоминал о симметрии прошлого и будущего в своей малоизвестной работе 1909 г. [1]. Эйнштейн, оценивая теорию Р.Фейнмана, не нашел в ней каких-либо серьезных изъянов (нестыковок), и отметил, что в 1909 г. он действительно допускал существование запаздывающих и опережающих волн.
Вариант теории, разработанный Р.Фейнманом в начале 1940 -х годов, нельзя было назвать квантовой теорией. В нем использовались классические уравнения поля (уравнения Максвелла) без каких-либо квантовомеханических поправок, которые, конечно, требовалось ввести в дальнейшем. Однако уже на этом этапе исследований один из параметров теории Р.Фейнмана приобрел исключительное значение. Ученый заметил, что результаты вычислений оказываются правильными, если использовать принцип наименьшего действия. Понять это обстоятельство удалось после многих «проб и ошибок». В результате Р.Фейнман склонился к заключению, что принцип наименьшего действия (впервые введенный в механику Пьером Мопертюи в 1744 г.) можно перенести в теорию взаимодействия частиц.
Отметим, что французский математик, астроном и геодезист Пьер Мопертюи (1698-1759) сформулировал данный принцип в механике по аналогии с принципом наименьшего времени, постулированным Пьером Ферма в 1662 г. в оптике. В свою очередь, П.Ферма открыл данный принцип, изучая работы Герона Александрийского, жившего в первом веке нашей эры. Для описания явления отражения света Герон ввел принцип кратчайшего пути, но П.Ферма заметил, что этот принцип непригоден для исследования явления преломления света. Это заставило его переформулировать принцип Герона, заявив, что движение света подчиняется правилу кратчайшего времени (времени, за которое световой луч проходит расстояние от точки A к точке B).
Джеймс Глик в книге «Гений» [1] говорит о теории Р.Фейнмана, разработанной в начале 1940-х годов: «...Один из параметров по мере развития теории приобрел исключительное значение. Оказалось, что можно вычислять взаимодействие между частицами, используя принцип наименьшего действия. <...> В соответствии с принципом наименьшего действия можно не вычислять траекторию летящего мяча в последовательные моменты времени, а исходить из утверждения, что мяч будет двигаться по траектории, при которой действие, то есть разница между кинетической и потенциальной энергиями мяча, будет минимальным» [1].
Примечательно, что Р.Фейнман впервые познакомился с принципом наименьшего действия еще в средней школе, благодаря учителю физики Абраму Бадеру. Д.Гриббин и М.Гриббин в книге «Ричард Фейнман: жизнь в науке» [2] отмечают: «Еще в средней школе от Абрама Бадера Фейнман узнал, что в классической механике для нахождения полной траектории движения мяча, от руки до окна, можно использовать принцип наименьшего действия, который не требует вычисления изменений, происходящих со скоростью и другими физическими свойствами мяча в каждый момент времени его движения...» [2, с.86].
Аналогия вторая: переход от метода Гамильтона к методу Лагранжа
В традиционной квантовой механике для перехода от настоящего к будущему необходимо решить дифференциальные уравнения, руководствуясь методом Гамильтона. В таких случаях физики говорят: требуется «найти Гамильтониан» системы. Если определить его удавалось, можно было двигаться дальше. Однако в теории взаимодействия частиц, предложенной Р.Фейнманом, использование метода Гамильтона исключалось. Это было связано с задержками во времени. Выяснилась недостаточность полного описания настоящего - координат, импульсов и других параметров. Привычные дифференциальные уравнения не работали, необходимо было применять другой метод. Р.Фейнман догадывался, что этим «другим методом» должен стать формализм Лагранжа, альтернативный формализму Г амильтона. Но ученый не знал, каков конкретный алгоритм, позволяющий ввести в квантовую механику формализм Лагранжа, а вместе с ним и принцип наименьшего действия.
Получить необходимую информацию удалось в 1941 г. при случайных обстоятельствах, во время встречи с немецким физиком Гербертом Джелом (Йеле). Искомый алгоритм «скрывался» в статье П.Дирака «Лагранжиан в квантовой механике» (1933). Как только Р.Фейнман ознакомился с этой публикацией, он понял, каким образом принцип Мопертюи (принцип наименьшего действия) переносится в квантовую механику. Неслучайно его диссертация, защищенная в 1942 г., имела название, отсылающее к данному постулату: «Принцип наименьшего действия в квантовой механике». Можно сказать, что Р.Фейнман обнаружил аналогию между теми идеями, в которых он нуждался для развития своей формулировки квантовой электродинамики, и тем формализмом, который был представлен в упомянутой статье П.Дирака.
О случайных обстоятельствах, при которых Р.Фейнман получил ключ к решению проблемы, пишет Мигель Сабадель в книге «Когда фотон встречает электрон» [3]: «Чтобы описать квантовую систему, физики искали «оператор Гамильтона» (математический объект, связанный с общей энергией системы).
После его определения они могли переходить к расчетам. Данный метод не работал в мире временных задержек Уилера и Фейнмана. Успеха можно было добиться, только применив формализм Лагранжа и принцип наименьшего действия. Если бы у них это не получилось, то все их усилия были бы тщетны. Но как их применить? Ответ пришел во время пивного фестиваля в таверне «Нассау» в Принстоне. В этот день Фейнман, сидя рядом с Гербертом Йеле, бывшим студентом Шредингера, спросил его о том, знает ли он кого-то, кто уже применял принцип наименьшего действия в квантовой механике. Его лицо осветилось в тот момент, когда Йеле ответил, что Дирак, один из его кумиров, написал статью по этому поводу восемь лет назад» [3, с.63 -64]. Автор поясняет: «Упомянутая статья называлась «Лагранжиан в квантовой механике». Дирак высказывал мысль, что данный метод мог быть очень продуктивным и показывать неплохие результаты, так как он использовал принцип наименьшего действия...» [3, с.64].
Столь же подробно этот эпизод описывает сам Р.Фейнман в своей Нобелевской лекции «Развитие пространственно-временной трактовки квантовой электродинамики» [4]: «И вот однажды, когда я блуждал в темноте около этой проблемы, я пошел выпить пиво в Нассау -таверне в Принстоне. Там был один физик, только что приехавший из Европы (Герберт Джел). Он сел рядом со мной. Европейцы куда более серьезны, чем мы в Америке, потому что они считают, что такая вечеринка с пивом является подходящим местом для обсуждения головоломных вопросов. Итак, он сел около меня и спросил: «Что Вы делаете?» и т.д. Я ответил: «Пью пиво». Затем я понял, что он хотел узнать, чем я занимаюсь, и я рассказал ему о той задаче, которая меня увлекла. Наконец, я попросту повернулся к нему и спросил: «Слушайте, не знаете ли Вы какой-либо путь получения квантовой механики из принципа [наименьшего] действия, где интеграл, определяющий действие, непосредственно входил бы в квантовую механику?» «Нет, - ответил он, - но у Дирака была статья, в которой в квантовую механику, по крайней мере, вводится лагранжиан. Я покажу ее Вам завтра». На следующий день мы пошли в Принстонскую библиотеку. Там имеются маленькие комнатки, в которых можно вести любые дискуссии. Он показал мне эту статью» [4, с.38].
Аналогия третья: открытие метода интегрирования по путям (траекториям)
Статья П.Дирака «Лагранжиан в квантовой механике» (1933) подсказывала не только способ введения формализма Лагранжа, но и некоторые аспекты метода интегрирования по путям (по траекториям), создание которого считается выдающейся заслугой Р.Фейнмана. Подчеркнем - некоторые аспекты указанного метода, но этого вполне достаточно, чтобы говорить о влиянии работы П.Дирака (1933) на разработку метода интегралов по траекториям.
Пол Халперн в книге «Квантовый лабиринт» [5] пишет о Фейнмане: «В статье Дирака он увидел, что методы с использованием лагранжиана идеальны для квантования разработанной им и Уилером теории поглощения. Формулируя гипотезу в терминах принципа наименьшего действия и определяя классическую траекторию как путь наименьшего действия, он мог очертить его как набор квантовых вероятностей» [5].
«Фейнман захотел убедиться, - продолжает автор, - что классическая траектория, в конечном итоге, всегда оказывается самой вероятной при использовании его теоретического метода, и для этого он взвесил каждую траекторию по ее вероятности, определенной обобщенными преобразующими функциями, которые он нашел в статье Дирака. Для каждой траектории, следуя технике Дирака, он задал динамические переменные для каждого момента времени, рассчитал соответствующие лагранжианы, применил преобразующие функции и перемножил их, чтобы представить цепь событий целиком. Затем, суммируя эти возможности и используя принцип наименьшего действия, он показал, что классический путь становится наиболее вероятным. Он окрестил это специальное квантовое добавление - «интеграл по траектории». Метод Фейнмана прекрасным образом соединил принцип наименьшего действия с принципом Ферма, оба они показывали, как свет путешествует по прямой линии, чтобы потратить на дорогу меньше времени» [5].
В методе интегрирования по траекториям используется континуальный интеграл (интеграл в функциональном пространстве), который также называется бесконечнократным интегралом. Б.В.Медведев и Д.В.Ширков в статье «П.А.М. Дирак и становление основных представлений квантовой теории поля» [6] пишут о влиянии работы П.Дирака (1933) на разработку Р.Фейнманом метода интегралов по траекториям: «Континуальный интеграл для формулировки квантовой динамики был введен Фейнманом (1948), который опирался на ту высказанную Дираком еще в 1933 г. идею, что временную эволюцию квантовой системы за конечный интервал времени можно представить в виде композиции большого числа эволюции по малым временным интервалам. Функция конечного преобразования предстает при этом в форме многократного интеграла от произведения большого числа «элементарных» функций преобразования по возможным значениям динамических переменных в промежуточные моменты времени. Уменьшая размеры малых временных интервалов, и неограниченно увеличивая число промежуточных интегрирований, приходим к новому представлению квантовых амплитуд через бесконечнократные интегралы. В квантовой механике систем с малым числом степеней свободы эти интегралы известны как интегралы по путям, а в квантовой теории поля как функциональные интегралы» [6, с.84].