Когда Л.Больцман стал переносить в молекулярно-кинетическую теорию понятия и методы математической теории вероятностей и комбинаторики (теории перестановок и сочетаний), он столкнулся с аналогичным парадоксом. Можно сказать, что он столкнулся с парадоксом «Ахиллес и черепаха» в чистом виде. Связав энтропию с вероятностью, а вероятность с числом способов (комплексий) распределения энергии в газовой системе, Л.Больцман задался целью вычислить энтропию газа средствами комбинаторики. Однако если отказаться от допущения, что энергия имеет дискретную (парциальную) структуру, эта цель останется недостижимой. Иначе говоря, если признать бесконечную делимость энергии, то число способов (комплексий) распределения энергии в газе получится бесконечным. В этом случае мы не сможем представить указанное число комплексий в виде конечной величины и вычислить энтропию. Когда Л.Больцман понял это, он вполне намеренно ввел в свои расчеты элемент дискретности, то есть предположил, что энергия молекул газа состоит из отдельных, неделимых далее, порций (элементов). Тем самым Л.Больцман (1877) избежал ловушки, в которую можно попасть, если следовать Зенону, допускавшему бесконечную делимость расстояния и бессилие Ахиллеса в попытках догнать черепаху. И, конечно, главная причина, заставившая австрийского физика ввести элемент дискретности, - стремление реализовать фундаментальную аналогию, то есть перенести теоретико-вероятностные методы в молекулярно-кинетическую теорию. Иначе говоря, гипотеза Л.Больцмана о дискретности энергии газовых молекул - детище этой фундаментальной аналогии. Укажем, что Л.Больцман использовал представление о дискретности энергии, чтобы дать новое доказательство закона Дж.Максвелла о распределении молекул газа по скоростям. Сам Дж.Максвелл также не был удовлетворен своим доказательством и искал альтернативные подходы. Предложенный Л.Больцманом метод подсчета числа комплексий как раз и был одним из таких альтернативных подходов.
Л.С.Полак в книге «Людвиг Больцман» [4] говорит об австрийском физике и его сочинении 1877 года: «Он посвятил целый раздел своего мемуара рассмотрению альтернативного вывода указанных выше результатов. Этот альтернативный вывод он считал более ясным и более конструктивным. Основная идея его состояла в том, чтобы рассматривать энергию как дискретную, а не как непрерывную переменную, так что кинетическое уравнение (15) заменяется системой обыкновенных дифференциальных нестационарных уравнений. Больцман предпочитал думать, когда это было возможно, в терминах дискретных величин. Он аргументировал это тем, что такой путь имеет исторические прецеденты (Лагранж и Риман)» [4, с.89]. «Таким образом, - резюмирует автор, - Больцман (за 28 лет до работы М.Планка о квантах энергии) использовал представление о дискретности энергии в процессе обмена при статистическом обосновании второго закона термодинамики. Это представление «о конечных порциях энергии», которыми могут обмениваться молекулы при столкновениях, привело Больцмана к подсчету числа столкновений методами комбинаторики» [4, с.89].
Можно удивиться тому, как много Л.Больцман сделал для того, чтобы М.Планк открыл квантовую (дискретную) структуру энергии излучения абсолютно черного тела. Чтобы открыть ее и получить в награду Нобелевскую премию по физике (М.Планк получил ее в 1918 г.), нужно было перенести в теорию излучения ряд идей Л.Больцмана. Прежде всего, идею о связи энтропии и вероятности, гипотезу молекулярного беспорядка («естественного излучения»), представление о дискретности энергии молекул и метод подсчета комплексий. Следовательно, квантовая гипотеза М.Планка - такое же дитя мыслительной операции аналогии (переноса), как и многие, рассмотренные нами, идеи самого Л.Больцмана.
Е.М.Кляус и У.И.Франкфурт в книге «Макс Планк» [18] повествуют о том, как автор квантовой гипотезы перенес на электромагнитное излучение статистические методы Л.Больцмана: «В докладе, прочитанном 19 октября 1900 г., вопрос о законе спектрального распределения энергии в излучении черного тела был, по существу, решен. Однако не было его надлежащего обоснования, и перед Планком стояла задача теоретически вывести выражение для энтропии осциллятора. В поисках решения он пошел по пути Больцмана...» [18, с.304]. Далее авторы указывают: «Основной гипотезой планковской теории излучения является гипотеза больцмановской теории комплексии» [18, с.350]. «Гипотеза больцмановской теории комплексии послужила основной гипотезой и в планковской теории излучения» [18, с.351].
Об этом же докладе М.Планка, в котором ученый признался в использовании идей Л.Больцмана, пишет один из предтеч лазерных технологий В.А.Фабрикант [19]: «В докладе Планк ссылался на большой мемуар 1877 года, в котором Больцман для построения кинетической теории газов воспользовался методами теории вероятностей. Планк решил применить теорию вероятностей к вопросу о распределении по энергиям осцилляторов, а потом перейти к распределению интенсивности в спектре абсолютно черного излучения» [19, с.19]. Далее автор указывает, как элемент дискретности, использованный Л.Больцманом в молекулярно -кинетической теории, «перекочевал» в теорию излучения М.Планка: «Больцман в указанном мемуаре ввел, как он писал, «полезную фикцию», заключавшуюся в предположении, что кинетическая энергия молекул может иметь только дискретный ряд значений, кратных одной и той же величине є» [19, с.19].
«Несмотря на формальный характер примененного Больцманом приема, он, очевидно, сыграл существенную роль в становлении взглядов Планка, предположившего, что энергия осцилляторов также образует дискретный ряд значений, кратных одной и той же величине» [19, с.20].
Аналогия десятая: формулировка идеи о возможности перенести теорию Л.Больцмана на открытые системы
Л.Больцман восхищался теорией биологической эволюции, предложенной Ч.Дарвином (1859), обращая внимание на определенные параллели между ней и своей кинетической теорией газов. Применив в биологии статистический метод, Ч.Дарвин показал, что на больших отрезках времени случайные наследственные изменения, накапливаясь, приводят к адаптации животных к окружающей среде. То есть небольшие случайные флуктуации определяют эволюцию огромных популяций организмов. Это напоминало физический процесс, в ходе которого молекулы газа, изначально обладающие различными скоростями, со временем приобретают состояние, характеризующееся распределением Максвелла. Но Л.Больцман понимал, что биологическая эволюция, сопровождающаяся повышением степени организации (сложности), - противоположность той тенденции, при которой газовая система переходит в равновесное (наиболее вероятное) состояние. Поэтому он предположил, что его теория и статистические методы, разработанные им для равновесных термодинамических процессов, могут быть перенесены на неравновесные процессы. Л.Больцман не осуществил этот перенос (не построил теорию самоорганизации открытых систем), но сама мысль о возможности распространения его результатов на открытые термодинамические системы - ценный вывод, основанный на аналогии. Справедливость этого вывода доказали уже другие ученые - И.Пригожин, Ю.Л.Климонтович, Г.Хакен и т.д.
Ю.Л.Климонтович в статье «Введение в физику открытых систем» [20] подчеркивает: «.. .Именно Больцман определил XIX век как век Дарвина. Тем самым на первое место он поставил принцип биологической эволюции. В чем же дело? Ведь во времена Больцмана не существовало каких-либо математических моделей биологической эволюции. Основным движущим фактором была уверенность Больцмана в том, что развитая им теория временной эволюции газа в замкнутой системе будет обобщена и на открытые системы. К числу последних относятся и все биологические объекты. Теория эволюции Дарвина и была, таким образом, первым шагом в теории эволюции открытых систем. Больцман был одним из немногих в то время, кто понял важность этого «первого шага» [20, с.109-110].
Ценность идей Л.Больцмана
Опишем вкратце работы, в которых идеи Л.Больцмана развивались и обобщались, позволяя решать важные проблемы в областях физики, далеких от молекулярно-кинетической теории. При этом мы будем делать ссылки на источники, содержащие информацию об этих обобщениях (в том числе переносах, основанных на аналогиях). Голландский физик Хендрик Лоренц (Нобелевская премия за 1902 г.) построил электронную теорию металлов за счет применения к «электронному газу» статистики Максвелла-Больцмана [21]. Французский физик Поль Ланжевен (1905, 1907) использовал идеи Л.Больцмана при построении статистической теории парамагнетизма [22, 23]. Польский математик и физик М.Смолуховский (1904, 1906), следуя стратегии Л.Больцмана, предполагающей опору на математическую теорию вероятностей, разработал теорию броуновского движения [24]. Американский физик индийского происхождения Субраманьян Чандрасекар (Нобелевская премия по физике за 1983 г.) перенес кинетическое уравнение Больцмана в теорию звездных систем, т.е. в звездную динамику. При этом он использовал бесстолкновительную форму данного уравнения [25, 26]. Отечественный ученый Лев Ландау (Нобелевская премия по физике за 1962 г.) перенес кинетическое уравнение Больцмана в теорию электрон-ионной плазмы, которая стала интенсивно изучаться в рамках проекта по разработке управляемого термоядерного синтеза. При выводе уравнения плазмы Л.Д.Ландау (1937) получил интеграл столкновений для заряженных частиц из интеграла столкновений Л.Больцмана [27, 28]. Отечественный физик, академик АН СССР, Василий Сергеевич Владимиров (1923 -2012) распространил кинетическое уравнение Больцмана, а именно линейную форму данного уравнения, в теорию переноса нейтронов для расчета ядерных реакторов [29]. Французский математик и физик Андре Лихнерович (1940) внес вклад в релятивистскую кинетику, дав релятивистское обобщение уравнения Больцмана для случая парных упругих столкновений частиц [30]. Работая в той же области релятивистской кинетики, отечественный ученый Николай Александрович Черников (1928-2007) нашел в 1957 г. интеграл столкновений Больцмана для многократных упругих столкновений [30, 31]. Кроме того, Н.А.Черников (1962) доказал H-теорему Больцмана для релятивистских упругих столкновений [30, 32]. Американский математик Клод Шеннон (1948) построил теорию связи (информации) по аналогии с теорией энтропии Л.Больцмана. Для измерения количества информации К.Шеннон предложил использовать формулу, аналогичную формуле энтропии S = kln W, открытой австрийским физиком [33, 34]. Отечественный математик Яков Григорьевич Синай (математическая премия Абеля за 2014 г.) нашел доказательство эргодической гипотезы Л.Больцмана [35]. При этом была доказана модифицированная форма данной гипотезы, отличающаяся от первоначальной (старой) версии гипотезы, утверждавшей, что фазовая траектория проходит через каждую точку на энергетической поверхности системы. Другая формулировка старой версии: пути частиц в фазовом пространстве проходят через все координаты этого пространства.
Теперь несколько слов о применении идей Л.Больцмана в биологии. В настоящее время правительства многих стран создают многочисленные лаборатории (и научно-исследовательские институты), основная цель которых - изучение процесса старения живого организма и поиск средств замедления этого процесса. Но что такое «биологическое старение»? Идеи Л.Больцмана (а также Р.Клаузиуса) и в данном случае помогли разобраться в сути явления. Многие специалисты склоняются к заключению, что старение - это результат роста энтропии, разрушающей то, что функционирует на основе принципов самоорганизации. Илья Пригожин (Нобелевская премия по химии за 1977 г.) был первым, кто догадался перенести идеи термодинамики в область биологии старения, разработав еще в 1946 г. термодинамическую теорию старения. Основные положения этой концепции освещаются в работах А.И.Зотина [36, 37]. Термодинамический подход к процессам старения развивается также отечественными учеными [38].
В.И.Донцов и его соавторы прямо связывают старение организмов с энтропией Клаузиуса - Больцмана. В книге «Фундаментальные механизмы геропрофилактики» [39] они пишут: «Причина того, что общее направление эволюции организма - старение, а не усложнение и не бесконечно долгое самосохранение, заключается в том, что целостный организм консервативен и неизменен (после окончания периода роста и развития), поэтому принцип энтропии определяет общее направление его эволюции как накопление хаоса...» [39, с.56]. Обсуждая методы оценки старения (снижения
жизнеспособности) организма, авторы подчеркивают: «Прямой оценкой абсолютного «старения» любой системы, исходя из представлений о порядке, хаосе и законов термодинамики, могло бы быть определение уровня энтропии системы. Относительное изменение энтропии на протяжении жизни могло бы быть таким термодинамическим критерием старения» [39, с.157-158].
Таким образом, и в области биологии старения идеи Л.Больцмана (прежде всего, его представления об энтропии) оказываются полезными, позволяя выработать теоретическое понимание механизмов нарушения функционирования биологических клеток и тканей. И мы можем надеяться на успех в поиске средств против старения по той причине, что, как доказал Л.Больцман, рост энтропии имеет вероятностный характер.
Заключение
Э.Шредингер писал о Л.Больцмане: «Старый венский институт Людвига Больцмана, незадолго до моего появления так трагически ушедшего из жизни... дал мне возможность проникнуться идеями этого могучего ума. Круг этих идей стал для меня как бы первой любовью в науке, ничто другое меня так не захватывало и, пожалуй, никогда уже не захватит» [4, с.32]. Рассказывая о своем научном пути, на котором ему удалось внести весомый вклад в квантовую механику, Э.Шредингер вновь вспоминал создателя статистической физики: «К современной теории атома я приближался очень медленно. Ее внутренние противоречия звучат как пронзительные диссонансы по сравнению с чистой, неумолимо ясной последовательностью мысли Больцмана.» [40, с.39].
Пожалуй, надо признаться в том, что когда мы работали над 18 -й проблемой С.Смейла, мы тоже вспоминали Л.Больцмана. Бросалась в глаза аналогия между статистической природой термодинамических процессов, исследованных Л.Больцманом, и статистическим (стохастическим) характером тех творческих стратегий, с помощью которых мы постигаем окружающий мир. Л.Больцман понял, что статистическое описание динамических систем, состоящих из миллиардов хаотически движущихся частиц, - предел точности описания таких систем. Подобно этому, пытаясь ответить на вопрос американского математика С.Смейла о том, каковы пределы интеллекта (как искусственного, так и человеческого), мы пришли к выводу, что этими пределами являются факторы научного поиска, исключающие возможность его полной формализации (алгоритмизации).
Первый такой фактор - логическая операция индукция, которая всегда является неполной и, следовательно, содержит в себе элементы вероятности. Еще Г.Лейбниц отмечал вероятностную природу индуктивного метода, а именно тот факт, что в одних случаях он дает истину, а в других приводит к ошибкам. Это обстоятельство стало одной из причин, заставивших немецкого математика сформулировать проект универсальной характеристики (универсального алгоритма, постигающего мир без использования индукции). Но этот проект остался несбыточной мечтой, поскольку отказ от экспериментов и обобщения результатов, получаемых в ходе этих экспериментов, - «дорога в никуда».
Второй фактор, исключающий полную формализацию творческой деятельности, - метод проб и ошибок. Когда ученый работает в неизведанной области, этот метод является незаменимым инструментом приобретения новых знаний.
Третий аспект методологии научного исследования, имеющий отношение к 18-й проблеме С.Смейла, - фактор случая в научном открытии, означающий, что некоторые важные открытия делаются случайно (непреднамеренно). Примеры подобных находок - нейтронные звезды, открытые Энтони Хьюишом и принесшие ему в 1978 г. Нобелевскую премию по физике; микроволновое космическое реликтовое излучение, обнаруженное А.Пензиасом и Р.Вильсоном и также удостоенное в 1978 г. Нобелевской премии. Случайные открытия - аналог тех случайных флуктуаций, которые изучал Л.Больцман в рамках равновесной термодинамики, а И.Пригожин - в рамках неравновесной. Непреднамеренные научные открытия напоминают также случайные наследственные изменения (мутации), рассмотренные
Ч.Дарвином в качестве движущей силы биологической эволюции.