Кинетическое уравнение, выведенное Л.Больцманом (1872), описывает эволюцию функции распределения в фазовом пространстве одной частицы. Уравнение содержит два члена: 1) потоковый, описывающий движение молекул по траекториям в фазовом пространстве и представленный дифференциальным оператором; 2) столкновительный - описывающий изменения скорости молекул, обусловленные столкновениями (этот член представлен интегральным оператором). Следовательно, уравнение Больцмана, - это интегро-дифференциальное уравнение, причем столкновительный член является нелинейным. В этой нелинейности состоит одна из трудностей для построения методов точного решения уравнения.
Тем не менее, существуют способы линеаризовать уравнение Больцмана, то есть превратить его в линейное уравнение, которое оказалось необычайно полезным в различных областях физики. Например, кинетическое уравнение Больцмана (опять же по аналогии) было перенесено в теорию электрон -ионной плазмы, в физику твердого тела, нейтронную физику (теорию ядерных реакторов), теорию распределения звезд в галактике (звездную динамику). Уравнение Больцмана также используется в космологии для описания ряда физических процессов, характерных для начальных стадий развития Вселенной.
Как же Л.Больцман открыл свое знаменитое кинетическое уравнение? Выше мы отметили, что оно состоит из двух членов - потокового и столкновительного. Потоковая (левая) часть уравнения была открыта великим австрийским физиком по аналогии с уравнением Лиувилля для функции распределения частиц в классической (гамильтоновой) системе. Данное уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения частиц в фазовом пространстве классической механической системы. Таким образом, Л.Больцман перенес в статистическую физику (молекулярно-кинетическую теорию) указанное уравнение Лиувилля, взятое из классической механики. Добавив к этому уравнению столкновительный член, учитывающий парные взаимодействия между молекулами, Л.Больцман и получил свое знаменитое кинетическое уравнение.
Об этой аналогии пишет В.В.Козлов в книге «Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре» [6]: «Основным достижением Больцмана является его кинетическое уравнение
% + (f .») = f 1 d30 1 d=e [f f , -ff] |(ш - и) xe|,
которое описывает изменение плотности вероятности f (г, и, t) того, что частицы (являющиеся твердыми шарами диаметра 5) в момент времени t находятся в точке г Є R3 и имеют скорость и. Выражение в левой части уравнения Больцмана представляет левую часть уравнения Лиувилля для одной свободной частицы» [6, с.43].
Теперь несколько слов о гипотезе молекулярного хаоса, введенной австрийским физиком при выводе упомянутого уравнения. Одна из причин, заставивших Л.Больцмана ввести эту гипотезу (идею о статистической независимости молекул), состояла в его стремлении использовать в молекулярно-кинетической теории результаты математической теории вероятностей. Теория вероятностей времен Л.Больцмана не могла описывать зависимые события: ситуация стала меняться лишь после работ Андрея Андреевича Маркова (1856-1922), который распространил закон больших чисел на зависимые события, т.е. на «цепи Маркова».
Как отмечает Л.С.Полак [4], раскрывая мотивацию Л.Больцмана, «последовательные соударения какой-либо молекулы должны рассматриваться как независимые события для того, чтобы к ним можно было применить законы исчисления вероятностей» [4, с.93]. Таким образом, желание использовать аналогию, то есть перенести идеи и методы математической теории вероятностей в молекулярно-кинетическую теорию и побудило Л.Больцмана «изобрести» гипотезу молекулярного беспорядка.
В процессе вывода кинетического уравнения Л.Больцман также сформулировал свою известную H-теорему, которая описывает неубывание энтропии идеального газа в необратимых термодинамических процессах. В свое время И.Лошмидт заявил, что H-теорема Л.Больцмана противоречит тому теоретически возможному обстоятельству, что любую газовую систему, перешедшую от упорядоченного состояния к хаосу, можно снова сделать упорядоченной, просто «обратив» импульсы всех частиц без изменения полной кинетической энергии системы. Иначе говоря, И.Лошмидт считал, что достаточно сменить знаки всех скоростей молекул на противоположные, чтобы система начала развиваться в обратном направлении (чтобы газ, занявший весь объем сосуда, самопроизвольно собрался в половине сосуда). Л.Больцман ответил оппоненту весьма лаконично: «Ступайте и поверните эти скорости! Посмотрим, как это у вас получится» [7, с.26].
Аналогия четвертая: открытие статистической природы второго начала термодинамики
Первоначально Л.Больцман, как и многие другие ученые (Р.Клаузиус, Г.Гельмгольц), был уверен в возможности найти строгое аналитическое доказательство второго начала термодинамики, то есть вывести его из какого - либо общего принципа классической механики. В определенный момент Л.Больцман пришел к заключению, что достичь успеха можно, если использовать принцип наименьшего действия (принцип П.Мопертюи). В 1866 г. австрийский физик опубликовал работу «О механическом смысле второго начала теории теплоты», в которой предпринял попытку вывести принцип роста энтропии из упомянутого принципа наименьшего действия. Однако вскоре Л.Больцман понял ошибочность своего подхода. Поиск других «механических» принципов, позволяющих дать аналитическое обоснование второго закона термодинамики, также не увенчался успехом. Всякий крупный ученый способен анализировать свои ошибки и делать правильные выводы из результатов такого анализа. Неудача, постигшая Л.Больцмана, индуктивно натолкнула его на мысль о невозможности решить стоящую задачу средствами механики (о бесперспективности поисков механического принципа, из которого чисто дедуктивно можно вывести постулат о стремлении энтропии к максимуму). Именно на этой стадии исследований ученый решил использовать теоретико-вероятностные положения и, в конце концов, пришел к выводу о чисто статистическом смысле второго начала термодинамики.
Этой «интеллектуальной трансформации» Л.Больцмана способствовали, по меньшей мере, три аналогии. Во-первых, он обратил внимание на то, что сформулированный Дж.Максвеллом закон распределения молекул газа по скоростям является статистическим законом. Вспомним, что шотландский физик открыл его по аналогии со статистическим законом распределения ошибок наблюдений, выведенным К.Гауссом. Л.Больцман рассуждал: если закон распределения газовых молекул по скоростям имеет статистический (вероятностный) характер, то, скорее всего, и принцип роста энтропии относится к категории вероятностных принципов. Впоследствии (в полемике с Э.Цермело) австрийский физик специально подчеркивал статистическую природу закона распределения Максвелла: «Я часто указывал с максимально возможной для меня ясностью, что максвелловский закон распределения скоростей между молекулами газа никоим образом не является теоремой обычной механики, которую можно доказать, опираясь только на уравнения движения; напротив, можно лишь доказать, что он обладает весьма высокой степенью вероятности...» [4, с.156].
Во-вторых, в книге Дж.Максвелла «Теория теплоты» (1871) был описан мысленный эксперимент, в котором хитроумное существо, названное «демоном Максвелла», могло сортировать находящиеся в замкнутом сосуде молекулы газа по скоростям таким образом, что величина энтропии газа не увеличивалась, а уменьшалась. Еще ранее Дж.Максвелл сообщал об этом «демоне» в письме, адресованном П.Тэту (1867). Данный мысленный эксперимент использовался автором «Теории теплоты», чтобы иллюстрировать статистическую природу принципа роста энтропии. Иначе говоря, уже Дж.Максвелл рассуждал о статистическом характере второго начала термодинамики, и его аргументация не могла не повлиять на Л.Больцмана.
М.А.Ельяшевич и Т.С.Протько в статье «Вклад Максвелла в развитие молекулярной физики и статистических методов» [8] указывают: «Весьма существенно, что Максвелл был первым, кто понял статистическую природу второго начала термодинамики. Задолго до появления известной H -теоремы Больцмана, Максвелл в письме к Тэту в декабре 1867 г. применил своего «демона» для иллюстрации статистической природы второго начала термодинамики. Максвелл отмечал, что второе начало термодинамики применимо только к системе, состоящей из большого числа молекул, и может нарушаться отдельными молекулами» [8, с.411].
Об этом же сообщает Я.Г.Дорфман во 2-м томе книги «Всемирная история физики» [9]: «Интересно отметить, что Максвелл с самого начала считал второе начало законом статистическим и относился резко критически к любым попыткам вывести его из каких-либо принципов механики» [9, с.133].
В-третьих, чтобы осознать статистический характер второго закона термодинамики, нужно было проанализировать роль статистических представлений в различных областях науки и убедиться в том, что эти представления продуктивны (плодотворны). Плодотворность статистического подхода в одной научной области по аналогии «намекала» на целесообразность его использования в другой области. Бельгийский ученый Адольф Кетле (1796-1874), широко применявший статистические методы в демографии и социологии, своими работами смог убедить Дж.Максвелла и Л.Больцмана в том, что и в молекулярно-кинетической теории эти методы могут оказаться полезными. Следует отметить, что после того, как в 1846 г. А.Кетле опубликовал в Брюсселе книгу «Человек и развитие его способностей. Опыт общественной физики», она была немедленно переведена на английский язык. Джон Гершель (1792-1871), сын Вильяма Гершеля, первооткрывателя планеты Уран, опубликовал в 1850 г. обзор этой книги, в котором попытался дать строгое доказательство закона распределения ошибок К.Гаусса. С этим доказательством был знаком Дж.Максвелл.
О том, что работы А.Кетле повлияли на исследования Дж.Максвелла и Л.Больцмана в области статистической физики, пишут многие авторы. Л.Млодинов в книге «Несовершенная случайность» [10] отмечает: «...Работа Кетле проникла в биологию. Однако внесла она оживление и в физику: Джеймс Максвелл и Людвиг Больцман, двое из основателей статистической физики, черпали свое вдохновение из теорий Кетле» [10, с.240].
«Вооруженные теориями Кетле, они создали новую область - статистическую физику, прибегнув к математически подкрепленной вероятности и статистике, - чтобы объяснить, каким образом свойства жидкостей происходят из движения (тогда гипотетического) атомов, их составляющих» [10, с.242].
Ф.Болл в монографии «Критическая масса» [11] пишет о том, что Дж.Максвелл ознакомился со многими статистическими идеями А.Кетле, прочитав сочинение Генри Томаса Бокля «История цивилизации в Англии» (1861): «...Когда Максвелл занялся описанием газовых систем, в которых молекулы постоянно двигаются и сталкиваются в таком количестве, что любые точные расчеты становятся невозможными, он четко осознал аналогию этой задачи с проблемой Бокля, описывающего общество, в котором поведение каждой отдельной личности непредсказуемо и непостижимо.» [11, с.81]. «В 1873 году, - продолжает автор, - Максвелл подчеркнул, что именно опыт социальных статистиков убедил его в корректности методов статистики, позволяющих, образно говоря, извлекать порядок из микроскопического хаоса.» [11, с.82].
Далее автор говорит об обзоре Джона Гершеля (1850), где содержалась первая попытка доказать закон распределения ошибок К.Гаусса: «Кстати, в этом обзоре Гершель указывал на возможную аналогию между социальной физикой (которую вводил А.Кетле - Н.Н.Б.) и возникающей в эти годы кинетической теорией» [11, с.82]. Переходя к анализу исходных посылок идей Л.Больцмана, автор «Критической массы» подчеркивает: «Больцман тоже был знаком с работами Бокля и сразу понял почти прямую аналогию между поведением частиц газа и отдельных личностей в статистических данных переписей, используемых Боклем.» [11, с.82-83].
Приведем еще один источник, свидетельствующий о том, что Л.Больцман переносил в молекулярно-кинетическую теорию статистические методы, применявшиеся в «социальной физике» А.Кетле и Г.Т.Бокля. Б.Г.Кузнецов в книге «Развитие физических идей от Галилея до Эйнштейна в свете современной науки» [12] повествует о докладе, прочитанном Л.Больцманом в 1886 г. на заседании Венской академии наук: «Больцман ссылается на примеры статистических закономерностей, широко известные благодаря развитию демографической и социальной статистики. Пока существенно не изменяются внешние обстоятельства, число так называемых добровольных поступков, например, преступлений, самоубийств и т.д., число случайных поступков (например, число писем, опущенных в почтовый ящик без адреса), число рождений, смертей и болезней остается для больших масс населения неизменным. «И в области молекулярных явлений дело происходит подобным же образом», - говорит Больцман. Эта ассоциация показывает не только корни статистических идей в сознании самого Больцмана, т.е. «онтогенез» статистической физики в творчестве мыслителя, но также действительную историческую связь между демографической статистикой и статистической физикой - «филогенез» последней. Образы демографической статистики так же воздействовали на интуицию физика, как строгие выводы математической теории вероятностей на математический аппарат термодинамики» [12, с.275- 276].
Аналогия пятая: интерпретация формирования беспорядка в газовой системе
Аргументы И.Лошмидта о том, что при обращении знака скоростей молекул можно добиться возвращения газовой системы в окрестность исходного (упорядоченного) состояния, заставили Л.Больцмана более глубоко рассмотреть природу порядка и его противоположности - хаоса. Нужно было найти примеры эволюции системы от порядка к беспорядочному состоянию и описать механизм процесса. Разумеется, австрийский физик нашел подобные примеры и показал, что переход динамической системы в равновесное состояние, характеризующееся средними значениями скоростей и положений частиц, более вероятно, чем обратный процесс. Капля чернил расплывается в воде, поскольку случайные блуждания частиц красящего вещества с очень большой вероятностью разводят эти частицы по объему; гораздо менее вероятен противоположный процесс, когда все эти частицы случайным образом вновь соберутся в каплю. Похожая ситуация - тасовка игральных карт, когда на смену упорядоченному расположению карт (распределенных по мастям) приходит их хаотичное расположение. Заслуга Л.Больцмана в том, что он провел аналогию между эволюцией газовой системы и процессом, подобным тасовке карт. Это была одна из аналогий, позволивших ему найти способ вычисления энтропии газовой системы.