Сила аналогий. Творчество Людвига Больцмана
Новиков Н.Б.
Аннотация
Работы замечательного австрийского ученого Людвига Больцмана (1844-1906) имеют непреходящую ценность в силу новизны и глубины фундаментальных физических проблем, решавшихся им. Результаты, полученные Л.Больцманом в области молекулярно-кинетической теории, статистической механики, теории излучения, проникли в основные представления нашей физической картины мира. Ни один из современных учебников физики не обходится без упоминания его новаторских трудов, явившихся бесценным вкладом в физическую науку. Л.Больцман вынес на своих плечах основную тяжесть борьбы за атомистику, оппонентами которой были В.Оствальд и Э.Мах. В настоящей статье мы намерены провести анализ наиболее значимых идей Л.Больцмана, появившихся на свет благодаря логической (логико-вероятностной) процедуре под названием «аналогия».
Ключевые слова: новые идеи, физические теории, обнаружение сходства, проведение аналогии.
Abstract
Novikov N.B.
The works of the remarkable Austrian scientist Ludwig Boltzmann (1844-1906) are of lasting value due to the novelty and depth of the fundamental physical problems solved by him. The results obtained by L. Boltzmann in the field of molecular kinetic theory, statistical mechanics, and radiation theory have penetrated into the basic concepts of our physical picture of the world. None of the modern physics textbooks is complete without mentioning his innovative works, which were an invaluable contribution to physical science. L. Boltzmann bore on his shoulders the brunt of the struggle for the atomic theory, whose opponents were W. Ostwald and E. Mach. In this article we intend to analyze the most significant ideas of L. Boltzmann, which were born due to a logical (logical-probabilistic) procedure called “analogy”.
Key words: new ideas, physical theories, discovery of similarities, drawing analogies.
Аналогия первая: формулировка закона распределения Максвелла-Больцмана
Перечислим основные открытия, сделанные в термодинамике и молекулярно-кинетической теории к моменту, когда Л.Больцман начал свою научную деятельность в этих разделах физики. К середине XIX века паровая машина получает всё большее и большее распространение в промышленности. Вместе с этим существенное значение начинает приобретать теория самой машины. Французский физик и математик Сади Карно публикует сочинение «О движущей силе огня» (1824), в котором вводит понятие идеальной тепловой машины, обратимости и необратимости термодинамических процессов. Джеймс Джоуль, Роберт Майер и Герман Гельмгольц (1850 -е гг.) определили механический эквивалент теплоты и сформулировали закон сохранения энергии, позднее названный первым началом термодинамики. Вильям Томсон (лорд Кельвин) и Рудольф Клаузиус приходят к выводу, что живая сила (энергия), способная совершать работу, постоянно уменьшается в силу выравнивания температур между разными телами. Назвав этот процесс уменьшения (рассеяния) энергии термином «энтропия», Р.Клаузиус получил возможность описать общефизическую тенденцию фразой «энтропия мира стремится к максимуму». Тем самым немецкий физик открыл второе начало термодинамики.
Под влиянием различных экспериментов (в том числе опытов Б.Румфорда по сверлению пушечных стволов) ученые начинают отказываться от концепции теплорода в пользу представления, связывающего теплоту с движением мельчайших частиц вещества. В начале XIX века Джон Дальтон применил атомистическую гипотезу для объяснения закона парциальных давлений, открытого им в 1801 г. После того, как Жозеф Гей-Люссак (1808) обнаружил, что газы соединяются всегда в кратных объемных отношениях, А.Авогадро отметил необходимость различать два типа частиц: атомы и молекулы.
Первые работы по молекулярно-кинетической теории газов появились благодаря исследованиям Джона Герапата (1790-1868), Джона Уотерстона (1811-1883) и Августа Крёнига (1822-1879). Дж.Герапат (1820) показал, что кинетическая теория может дать простое объяснение многим явлениям: изменению состояния, диффузии, распространению звука. Он говорил, что тепло растет в результате интенсивного движения атомов и пропорционально их импульсу (то есть и, а не и2). Дж.Уотерстон (1845) впервые в явном виде отождествил абсолютную температуру газа с квадратом скорости его молекул. Он заявил, что соударения газовых частиц, находящихся в постоянном движении, можно описывать при помощи законов теории удара из области теоретической механики. Дж.Уотерстон проводил аналогию между поведением реального газа и идеальной системы упругих шаров. К сожалению, работа Д.Уотерстона не была опубликована Королевским обществом (Англия), члены которого не смогли понять доводов автора.
Этой участи избежали Дж.Герапат и А.Крёниг. Немецкий физик А.Крёниг (1856) вывел закон идеального газа из простейшего предположения об упругих шарах (молекулах), движущихся параллельно трем взаимно перпендикулярным осям с общей скоростью и. Он получил формулу, которая связывает давление газовых молекул с их числом, скоростью и объемом газа. Предположив, что температура, измеренная от абсолютного нуля, равна mu2, А.Крёниг продемонстрировал, что его формула эквивалентна законам Бойля -
Мариотта и Гей-Люссака. Напомним, что первый закон - это обратно пропорциональная зависимость между давлением газа и его объемом, а второй - утверждение о том, что объем газа равен абсолютной температуре.
Развивая идеи А.Крёнига и Дж.Герапата (а также Дж.Джоуля), Р.Клаузиус сделал важный вклад в кинетическую теорию газов - ввел понятие средней длины свободного пробега молекулы. Однако он допускал, что все молекулы имеют равные скорости. С этим не согласился шотландский физик Джеймс Максвелл, который в работе «Пояснения к динамической теории газов» (1860) впервые сформулировал закон распределения газовых молекул по скоростям. В дальнейшем Дж.Максвелл неоднократно уточнял и совершенствовал доказательство этого закона. Сразу укажем, что Дж.Максвелл открыл указанный закон распределения молекул по аналогии с законом распределения ошибок наблюдений, сформулированным математиком Карлом Гауссом (1809) в связи с разработкой метода наименьших квадратов. При этом было понятно, что закон распределения ошибок К.Гаусса - теорема, относящаяся к математической теории вероятностей (это понимал еще П.Лаплас). Поэтому можно сказать, что Дж.Максвелл был одним из первых ученых, кто перенес в молекулярно - кинетическую теорию один из важных результатов, взятых из теории вероятностей. больцман молекулярный кинетический аналогия
Следует также упомянуть, что в 1866 г. профессор Венского университета И.Лошмидт опубликовал статью «О величине молекул воздуха», в которой дал расчет диаметра молекул воздуха. Другими словами, ему впервые удалось вычислить размер газовой молекулы.
Еще обучаясь в Венском университете, Л.Больцман познакомился с работами Дж.Максвелла. Сначала будущий основатель статистической механики изучил статьи Дж.Максвелла, посвященные электромагнитной теории поля, а затем - его работы, связанные с развитием молекулярнокинетической теории. Закон распределения молекул газа по скоростям, выведенный шотландским физиком, произвел на Л.Больцмана большое впечатление. Он решил обобщить его, то есть перенести на более общую ситуацию, которую, естественно, не рассматривал сам автор закона. Конкретно, австрийский физик предположил, что аналог закона распределения Максвелла должен существовать в том случае, когда газ состоит из многоатомных молекул и находится во внешнем силовом поле. Это предположение, основанное на аналогии, и привело Л.Больцмана к формулировке закона распределения молекул, более общего, чем исходный результат создателя электромагнитной теории.
Б.И.Спасский во 2-ом томе книги «История физики» [1] пишет: «Уже в 1866 г. Больцман приводит усовершенствованный вариант доказательства закона распределения скоростей молекул газа, исходя, подобно Максвеллу, из рассмотрения соударения молекул, а затем совершенствует его. При этом он рассмотрел и более общий случай идеального газа, находящегося в силовом поле, обобщил на этот случай закон распределения Максвелла-Больцмана...» [1, с.48].
Об этом же сообщает Я.М.Гельфер в монографии «История и методология термодинамики и статистической физики» [2]: «...Больцман отмечает роль Максвелла в выявлении роли теории вероятностей в молекулярно-кинетической теории газов, и говорит, что Максвелл ограничился исследованием закона распределения только для случая одноатомного газа. Поэтому следующий шаг должен заключаться в распространении найденного им закона на газы, находящиеся в силовом поле и состоящие из многоатомных молекул. Он показывает, что многоатомный газ, молекулы которого можно рассматривать как систему связанных между собой материальных точек, в равновесном состоянии будет также подчиняться закону распределения Максвелла» [2, с.296].
Аналогичные сведения можно найти в статье А.Фламма «Памяти Людвига Больцмана» [3], где автор указывает: «Для одноатомных идеальных газов был известен максвелловский закон распределения скоростей, который определял распределение молекул газов по скоростям в состоянии термодинамического равновесия. Больцман обобщил формулу Максвелла для многоатомных молекул, приняв во внимание не только энергию поступательного движения молекул, но также и энергию их вращения, колебательную энергию атомов в молекуле, а также внешние силы, действующие на молекулы» [3, с.3-4].
Аналогия вторая: формулировка теоремы о неизменности объема фазового пространства молекулярной системы
Занимаясь статистической теорией молекулярных систем, Л.Больцман пришел к выводу о том, что в данных системах элемент объема фазового пространства должен оставаться неизменным (постоянным). Этот вывод впоследствии получил название теоремы о постоянстве фазового объема, которая имеет множество эквивалентных формулировок. Приведем некоторые из них: 1) в фазовом пространстве объем во время движения системы сохраняется; 2) объем фазового пространства является инвариантом преобразования, определяемого каноническими уравнениями Гамильтона; 3) фазовый поток гамильтоновых уравнений сохраняет фазовый объем; 4) «фазовая жидкость несжимаема».
Теорема Л.Больцмана о постоянстве фазового объема нашла широкое применение в молекулярно-кинетической теории. Современник Л.Больцмана, американский физик и математик Джозайя Уиллард Гиббс (1839 -1903) сделал эту теорему одним из основных принципов статистической механики. Введя понятие фазы системы как совокупности значений всех ее координат и импульсов в данный момент и понятие «фазового пространства», Дж.Гиббс на основе упомянутой теоремы Л.Больцмана формулирует принцип сохранения фазового объема: «Если фазы, ограничивающие фазовый объем, изменяются с течением времени согласно динамическим законам системы, находящейся под действием сил, которые являются функциями либо только координат, либо координат и времени, то величина ограниченного таким образом фазового объема остается постоянной» [2, с.375].
Как же Л.Больцман открыл теорему о неизменности объема фазового пространства молекулярной (статистической) системы? По аналогии с теоремой Ж.Лиувилля о том, что функциональный определитель канонического преобразования равен единице. Все формулировки теоремы Л.Больцмана, приведенные выше, справедливы и для теоремы Ж.Лиувилля, то есть ее можно выразить той же короткой фразой «фазовая жидкость несжимаема». Изложенная теорема была впервые опубликована и доказана в 1838 г. французским математиком Жозефом Лиувиллем (1809-1882), который в то время занимался исследованием преобразований канонических переменных в уравнениях Гамильтона. Л.Больцман перенес результат Ж.Лиувилля из классической динамики в молекулярно -кинетическую теорию, вполне обоснованно решив, что этот результат окажется весьма полезным в статистической теории молекулярных систем.
Я.М.Гельфер в уже упоминавшейся книге [2] отмечает: «Больцман также впервые выяснил роль теоремы Лиувилля в построении статистической теории молекулярных систем. Еще задолго до создания статистической механики французский математик Ж.Лиувилль, занимаясь исследованием преобразования канонических переменных в уравнениях Гамильтона, доказал в 1838 г. теорему, согласно которой функциональный определитель канонического преобразования равен единице. Применив эту теорему к анализу движения молекулярной системы, Больцман нашел, что элемент объема фазового пространства остается неизменным» [2, с.375].
Л.С.Полак в книге «Людвиг Больцман» [4] говорит о теореме Лиувилля: «Впервые применил ее в статистической механике Больцман, в исследованиях которого эта теорема играет существенную и даже основную роль (она играет важную роль также и в исследованиях по механике Якоби). Фундаментальная теорема Лиувилля управляет временным поведением (эволюцией) ансамблей. Она позволяет рассмотреть условия статистического равновесия и обоснованно ввести основное допущение классической статистики: гипотезу равных a priori вероятностей для различных классических состояний, определенных равными объемами в фазовом пространстве, относящемся к исследуемой системе. Надо отметить еще раз замечательную интуицию Больцмана в выборе теоремы Лиувилля как основы статистической механики, связывающей классическую механику с движением несжимаемого потока плотности вероятности. Конечно, в этом ему помогло великолепное знание основных принципов механики...» [4, с.160].
Теорема Лиувилля - Больцмана играет существенную роль и в статистической теории неравновесных термодинамических процессов, основы которой заложены Л.Онсагером и И.Пригожиным. Бельгийский физико- химик, создатель теории диссипативных систем, Илья Пригожин упоминает об этой теореме в книге «Время. Хаос. Квант» [5] «.Динамическая эволюция сохраняет число представляющих точек в фазовом пространстве. Это фундаментальное свойство приводит к теореме Лиувилля, которую мы уже излагали. Эта теорема утверждает, что плотность p ведет себя как несжимаемая жидкость: для любой динамической системы объем области, занятой представляющими точками в фазовом пространстве, сохраняется в ходе эволюции. Однако, как уже упоминалось, теорема Лиувилля отнюдь не исключает изменения формы области, занятой представляющими точками» [5, с.132].
Аналогия третья: открытие кинетического уравнения Больцмана
В 1872 г., исследуя, при каких условиях газовая система может приближаться к равновесному состоянию (распределению Максвелла) и пребывать в нем значительное время, Л.Больцман вывел свое знаменитое кинетическое уравнение. При выводе данного уравнения ему пришлось сделать ряд упрощающих предположений. В частности, принимались во внимание только парные соударения молекул, выдвигалась гипотеза молекулярного хаоса (молекулярного беспорядка), согласно которой положение и скорость каждой молекулы газа не должны зависеть от положения и скоростей всех остальных молекул. Другими словами, предполагается, что корреляции между частицами газа являются несущественными. Несмотря на то, что это предположение вызвало множество дискуссий, именно упрощающее допущение о статистической независимости молекул позволило получить уравнение Больцмана как замкнутое уравнение для одночастичной функции распределения. «Развитый Больцманом подход имел поразительный успех и наложил глубокий отпечаток на всю историю физики» [4, с.92].