Л.И.Маневич в статье «Обратимость и стрела времени: между порядком и хаосом» [13] констатирует: «Проникновение теории вероятности в физику произошло в то время, когда атомно-молекулярное строение вещества не было еще твердо установлено, и феноменологическая точка зрения, основанная на континуальных представлениях, многими исследователями воспринималась как последнее слово теории. Тем большего признания заслуживает вклад Дж.Максвелла, Л.Больцмана и У.Гиббса, сформулировавших и далеко продвинувших проблему установления связи между макроскопическим поведением вещества и динамикой составляющих его тогда еще гипотетических молекул. Для Больцмана, посвятившего этой проблеме всю жизнь, руководящей идеей была, по-видимому, аналогия между временной эволюцией динамической системы и процессами, подобными, например, тасовке карт. Тасовка, начинающаяся с упорядоченного расположения карт от низших к высшим (или наоборот) в каждой масти (существует только 48 различных возможностей такого распределения), приводит к неупорядоченной колоде. Вероятность возвращения к упорядоченному расположению не равна нулю, но ничтожна мала. Больцман как раз пытался истолковать понятие энтропии на языке теории вероятностей, считая, что эволюция механической системы в каком-то смысле напоминает формирование беспорядка (рост числа неупорядоченных распределений) при тасовке карт...» [13, с.78-79].
Аналогия шестая: разработка метода вычисления энтропии газовой системы
Интерпретация процесса формирования беспорядка как перехода динамической системы к наиболее вероятному состоянию позволяет отождествить энтропию с вероятностью. А после этого отождествления открывается возможность для того, чтобы перенести в молекулярно - кинетическую теорию совокупность идей и методов математической теории вероятностей и комбинаторики (теории перестановок и сочетаний). Осуществляя этот перенос, Л.Больцман смог вычислить энтропию газовой системы. В 1877 г. он определил вероятность распределения энергии между частицами газа, произведя прямой подсчет числа различных способов (микросостояний), которыми данное распределение может быть реализовано. Число микросостояний ученый называл «числом комплексий», соответственно, энтропия в его трактовке - это не что иное, как число комплексий.
Я.М.Гельфер в книге «История и методология термодинамики и статистической физики» [2] поясняет: «В основе статистической интерпретации второго начала термодинамики лежало открытое Больцманом соотношение между энтропией S и термодинамической вероятностью W состояния системы: S = kln W. Под W Больцман понимал число физически различимых микросостояний, которыми может быть реализовано данное макросостояние» [2, с.518].
Австрийский физик догадался, что его вычисления можно упростить, если использовать приближенную формулу Стирлинга (аппроксимацию Стирлинга) для факториалов. В результате он перенес в статистическую физику формулу, выведенную шотландским математиком Джеймсом Стирлингом (1692-1770), который, конечно, не подозревал о таком применении его формулы, которая приводит к точным результатам даже при малых значениях n. Напомним, что в математике факториал неотрицательного целого n числа, обозначаемый n!, - это произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных n.
Л.С.Полак в очерке «Людвиг Больцман и развитие молекулярно - кинетической теории газов» [14] пишет: «Больцман начинает с любимой им дискретной модели («нереализуемой фикции»), которая, тем не менее, позволяет развить существенные идеи и представления. В то время как прежние исследования молекулярного распределения основывались на изучении того, как оно изменяется во времени в результате молекулярных соударений, здесь Больцман отказывается от кинетического приближения. Он хочет определить вероятность распределения «совершенно независимо от того, как это распределение возникло». Новый метод - прямой подсчет числа различных способов (микросостояний), которыми данное распределение может быть реализовано. Этот метод позволяет полностью исключить все трудности, связанные с вопросами о механизме столкновений» [14, с.532].
Далее автор указывает: «Больцман использует приближенную формулу Стирлинга...» [14, с.533].
Об этом же сообщает О.П.Спиридонов в книге «Людвиг Больцман: жизнь гения физики и трагедия творца» [15]: «Разбиение частиц на определенные энергетические интервалы позволило Больцману подсчитать число перестановок частиц внутри каждого интервала. Очевидно, что внутри первого интервала их будет щ!, второго - n2! и т.д. Так как такие перестановки не меняют термодинамического состояния системы, то для определения термодинамической вероятности состояния Больцман предлагает исключить их из полного числа перестановок N!» [15, с.133-134]. Автор добавляет: «Так как nil, n2! велики, Больцман заменяет значения факториалов на их приближенные значения, пользуясь формулой Стирлинга: n! ~ V2n(n/e)n, где e - основание натуральных логарифмов (е = 2,718.)» [15, с.134].
Использование формулы Стирлинга в исследованиях Л.Больцмана, позволивших вычислить энтропию газа, можно сравнить (по значению) с тем, как он догадался перенести в молекулярно -кинетическую концепцию теорему Ж.Лиувилля о сохранении фазового объема.
Аналогия седьмая: создание теории статистических ансамблей
И.Пригожин в книге «От существующего к возникающему» [16] значительное внимание уделяет роли Дж.Гиббса и А.Эйнштейна в разработке теории статистических ансамблей - совокупности одинаковых статистических систем, которые характеризуются одними и теми же значениями термодинамических параметров, но могут находиться в различных микроскопических состояниях. Отсюда может возникнуть впечатление, что эти ученые являются единоличными авторами теории ансамблей, аналог которой нашел большое применение в квантовой механике и неравновесной термодинамике. Приоритет в разработке указанной теории им - Дж.Гиббсу и А.Эйнштейну - отдавал и американский науковед Томас Кун, автор «Структуры научных революций». На самом деле основы концепции статистических ансамблей были заложены уже Л.Больцманом (1881). И сделал он это, опять же руководствуясь аналогией. В данном случае аналогия заключалась в том, что выдающийся физик правильно понял идею ансамблей Дж.Максвелла (1878), воспроизвел и развил ее, сделав концепцию ансамблей важной частью статистической физики.
Опишем ряд объективных причин, обусловивших возникновение теории статистических ансамблей. И.И.Ляпилин и В.П.Калашников в книге «Неравновесный статистический оператор.» [17] указывают, что интегрирование уравнений механики для очень большого числа переменных является практически невыполнимой задачей, но даже если бы это было возможно, мы все равно не смогли бы определить начальные условия для такого большого числа уравнений. Для преодоления этих трудностей принимается во внимание то обстоятельство, что в поведении систем из очень большого числа частиц начинают проявляться статистические закономерности, основанные на законе больших чисел. Поэтому в статистической механике «рассматривают не данную систему, а совокупность большого (в пределе бесконечного) числа ее копий, находящихся в макроскопически тождественных условиях, т.е. вводят статистический ансамбль, «представляющий» макроскопическое состояние системы. Тождественность внешних условий в макроскопическом смысле означает, что все экземпляры ансамбля характеризуются одинаковыми значениями макроскопических параметров (с точностью до возможных флуктуаций) и одинаковыми типами контактов с окружающими телами, например, резервуарами энергии или частиц. Это накладывает ограничения на координаты и импульсы частиц, которые в остальном могут быть произвольными» [17, с.12-13].
Отметим, что каждой системе, входящей в ансамбль, соответствует точка в фазовом пространстве. С течением времени каждая фазовая точка движется по собственной траектории в фазовом пространстве. Статистический ансамбль задается функцией распределения, имеющей смысл плотности вероятности распределения систем в фазовом пространстве.
Л.С.Полак в очерке [14] пишет об истории становления концепции ансамблей: «Переход от молекулярно-кинетической теории газа к статистической механике связан с введением в рассмотрение понятия «ансамбля», который представляет статистическое распределение в данный момент времени N тождественных систем, равномерно распределенных в фазовом пространстве; ранее же рассматривалось распределение во времени состояний одной-единственной системы (для простоты - газ). Максвелл перешел от такого рассмотрения в его ранних работах к картине, основанной на концепции ансамбля, в 1878 г., за год до смерти (Trans. Cambr. Phil. Soc., 1879, vol.12, p.547-570, представлено в мае 1878 г.). Надо заметить, что эта работа была не понята последователями Максвелла в Англии, многие из которых считали, что каждая из максвелловских N систем есть молекула, а все они вместе представляют собой газ. Больцман прекрасно понял идею Максвелла, воспроизвел его доказательство в 1881 г. и использовал концепцию ансамбля для решения специальных задач. Трудно согласиться с Т.Куном, который без каких-либо доказательств утверждает, что Больцман не сделал концепцию ансамбля «центральной. Исторически это был вклад Гиббса и Эйнштейна» [14, с.488-489].
Аналогия восьмая: перенос гипотезы молекулярного беспорядка в теорию электромагнитного излучения
Выше мы отметили, что в своих исследованиях Л.Больцман использовал гипотезу молекулярного беспорядка (молекулярного хаоса), согласно которой корреляции между молекулами, постоянно сталкивающимися друг с другом, несущественны. Эта предположение «позволяет получить уравнение Больцмана как замкнутое уравнение для одночастичной функции распределения» [4, с.92]. Мы также указывали, что гипотеза молекулярного беспорядка (идея о статистической независимости молекул) являлась одним из важных условий для широкого применения теоретико-вероятностных представлений в молекулярно-кинетической теории.
В конце XIX века возникла необходимость объяснить излучение абсолютно черного тела. Нужно было найти правильную формулу распределения электромагнитной энергии в спектре абсолютно черного тела (распределения по длинам волн), а также дать теоретическое объяснение этого распределения. Как известно, указанную формулу излучения нашел немецкий физик Макс Планк (1900), который при интерпретации полученного результата выдвинул квантовую гипотезу, т.е. гипотезу о том, что электромагнитная энергия, излучаемая и поглощаемая черным телом, имеет дискретный характер (состоит из отдельных порций, названных квантами). Таким образом, М.Планк открыл корпускулярный («зернистый») характер электромагнитной энергии.
Однако это открытие нельзя было сделать без использования гипотезы «естественного излучения», которая является аналогом гипотезы Л.Больцмана о молекулярном беспорядке (молекулярном хаосе). Для введения гипотезы «естественного излучения» достаточно перейти от принципа статистической независимости молекул газа к принципу статистической независимости «естественных» излучающих электрических резонаторов. Хотя автором гипотезы «естественного излучения» считается М.Планк, в действительности ее впервые сформулировал Л.Больцман (1897). Он первым осознал необходимость переноса идеи о молекулярном беспорядке из термодинамики (молекулярно-кинетической теории) в теорию электромагнитного излучения. И, находясь в переписке с М.Планком, сообщил ему о целесообразности подобной экстраполяции.
Об этой аналогии Л.Больцмана сообщает Я.М.Гельфер в уже цитировавшейся нами монографии [2]: «Предлагая ввести в теорию излучения гипотезу, аналогичную гипотезе «молекулярного беспорядка» для газов, Больцман обращал внимание Планка на то, что тогда для излучения можно было бы сформулировать теорему, которая играла бы роль H-теоремы в молекулярно-кинетической теории газов, и только тогда можно было бы понять процесс установления равновесного состояния в случае излучения. Таким образом, великий австрийский физик смело перенес идеи, разработанные им в молекулярно-кинетической теории, на процессы электромагнитного излучения. Этот шаг имел большое научное и методологическое значение: именно он подготовил почву, на которой Планк воздвиг здание квантовой теории» [2, с.470].
Аналогия девятая: использование идеи о дискретности энергии молекул газа
В свое время древнегреческий философ, ученик Парменида, Зенон Элейский сформулировал парадокс, согласно которому существуют условия, при которых быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху. Представим себе, что Ахиллес бежит в 10 раз быстрее, чем черепаха, и находится позади нее на расстоянии в 1000 шагов. Зенон утверждал, что за то время, за которое Ахиллес пробежит это расстояние, черепаха проползет 100 шагов. Когда Ахиллес пробежит 100 шагов, черепаха проползет еще 10 шагов, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, Ахиллес никогда не догонит черепаху. В чем состояло условие, которое создавало иллюзию правоты Зенона? В том, что он допускал бесконечную делимость расстояния. Если мы придерживаемся такого допущения, то Ахиллес, действительно, будет всегда отставать от неторопливой черепахи. Таким образом, решение парадокса Зенона заключается в признании ложности представления о бесконечной делимости расстояния.