Рис. 128.
Зависимость формы типовой кривой оседания от коэффициеита к, характеризующего свойства горного массива [433]
{ :200м |
100 |
Дх-^Го |
200м |
100 |
- х
Значение характеристики породного массива
(225)
может быть выведено для максимального наклона игшйК кривой профиля мульды оседания или из мощности / / t покрывающей толщи пород. В условиях ВерхнеСилезского бассейна оно составляет в среднем 122 и может возрастать до 180 и даже до 300, если породы карбона перекрываются мощной толщей более молодых отложений. Величина оседания, вычисленная при помощи интегра
ционной сетки, хорошо согласуется со значением, |
полученным по таблицам, |
|
составленным на основе выражения (224). |
свойства |
горного массива, |
Как влияет величина к, характеризующая |
||
на крутизну типовой кривой оседания, можно видеть из рис. |
128. Чем больше |
|
величина А, тем больше и крутизна кривой в точке перегиба. Для условий Верхне-Силезского каменноугольного бассейна точка звхмной поверхности, в которой оседание равно половине максимального, находится не над контуром очистной выработки, а на некотором расстоянии от него, так что контур выра ботки оказывается смещенным относительно точки кривой оседания с абсциссой х = 0 на расстояние
- А х = ] I f f |
(220) |
8.4.2. |
модель |
Упругая |
Если принять, что влияние выемки элементарного объема очистной выработки может быть заменено результирующей силой F, приложенной в точке S, ле жащей над этим элементарным объемом (см. рис. 41), то для упругой среди
функция, описывающая профиль элементарной мульды, образующейся на по верхности модели, будет иметь вид
wn |
|
|
|
(227) |
Это |
выражение получается из уравнения |
(52), |
если в него |
подставить |
z = О, |
с = Н и l / r 2 + Я 2 =--■ R A = В 2 = R |
[351. |
Полученное |
уравнение |
(227) не удовлетворяет приведенным в подразделе 3.3.2 граничным условиям,
требующим, чтобы на горизонте очистной выработки (z = |
Н) и у выхода на зем |
||||
ную |
поверхность |
линии |
граничного угла (г = Н ctg у) |
оседание равнялось |
|
нулю |
(w = 0), по оно справедливо для свободного |
распространения оседаний |
|||
в упругой среде. |
Сравнение с другими функциями распределения показывает, |
||||
что для практических целей расчета оседаний достаточно |
ограничить значение |
||||
функции в точке |
выхода |
линии граничного угла |
(г -- Н ctg у) величиной: |
||
равной 10—20% |
максимального оседания. Целесообразнее всего принять |
||||
для радиальной |
переменной множитель к ^ 4,5 (к2 = |
20); тогда уравнение |
|||
(227) можно переписать в |
виде |
|
|
||
wQ= const |
|
7/2 |
|
( 228) |
|
|
|
|
|||
|
/ 2 0 Г 2 + / / 2 |
0 / 2 0 г ‘- г - р / / 2 ) 3 |
|
|
|
В этой функции учтено принятие практического граничного угла, опре деляющего точку профиля мульды, в которой сдвижения еще не полностью затухают, но уже не представляют опасности для сооружения. Что касается оседания породного слоя почвы, которое в соответствии с другим граничным условием должно равняться нулю, то при расчете сдвижений, ограничивающемся только земной поверхностью, его можно в расчет не принимать.
Чтобы получить формулу для построения интеграционной сетки, уравне ние (228) подставляется в уравнепие (151) и производится суперпозиция всех элементарных мульд, образующихся под влиянием выемки элементов площади полной подработки (см. рис. 103).
О г = Я-~ = Г~ |
+ С, |
(229) |
V 20г2+//2 |
|
|
Вычисленные по этой формуле для упругой модели зональные радиусы при граничном угле, равном 54°, имеют следующие значения: г { — 0,28, г2 = 0,44. г3 = 0,64, г4 — 0,81 и г5 = й = 1, Построенная при помощи этих радиусов интеграционная сетка более всего походит на рассчитанную для пяти зон сетку Кейнгорста (см. табл. 12). Повышенное значение коэффициента пятой зоны (более узкой, чем в большинстве других методов) способствует компен сации погрешности расчета, обусловленной искусственным ограничением области влияния полной подработки. Описанные исследования подтвердили возможность использования методов расчета, основанных на теории упругости.
8.4.3.
Пластическая модель
Для породного массива, моделируемого вязкопластичной средой, приемлемое решение в настоящее время получено только для конечной стадии сдвижения точек на поверхности Полуплоскости [47]. При решении этой задачи было принято, что:
а) через любое горизонтальное сечение массива над горизонтальной вы работкой в процессе оседания проходит одинаковый объем несжимаемой среды, равный объему конвергенции в очистной выработке, т. е.
со |
|
V = — 2 § c ( x )d x; |
(230) |
о |
|
б) по длине имитирующей очистную выработку щели вертикальное сдви |
|
жение непосредственной кровли с = аЛ/, |
а горизонтальное сдвижепие равно |
нулю (vx = 0); |
|
в) по всей длине вертикальной средней оси у от массива горизонтальные сдвижения равны нулю (рис. 129);
г) по мере роста значений координат (х -*• оо и у -► оо) сдвижения посте пенно затухают;
д) сдвижения точек среды над каждым элементом очистной выработки происходит независимо от сдвижения точек, расположенных над соседними элементами.
Из приведенных дифференциальных уравнений (59) для вектора вертикаль ной составляющей сдвижения, опуская промежуточные вычисления, полу чаем, в соответствии с закономерностями образования элементарной мульды
на |
земной поверхности |
(у = Я), выражение |
|
|
|||
|
|
— dvzdx-= — |
th ^(0 |
dx, |
|
(231) |
|
где х — текущая координата элемента объема; |
th — гиперболический тангенс |
||||||
и ю |
— величина, |
характеризующая |
реологические свойства |
породного мас |
|||
сива, зависящая от средней скорости оседания |
vzm и кинематической вязкости |
||||||
среды |
ц; |
|
|
|
|
|
|
|
(0 = |
^ 1 |
|
|
|
|
(232) |
|
|
4т) |
|
|
|
|
|
|
Из уравнения (231) путем интегрирования по всей длине очистной выра |
||||||
ботки получается |
выражение для определения оседания |
|
|||||
|
r - = _ ' ^ [ t h |
0 - * |
= ^ ) _ t h |
( B- £ ± M |
- ) ] . |
(233) |
|
где х — текущая координата профиля мульды на земной поверхности. Над лежащим выбором величины о) форма кривой оседания п положение границ
Рис. 129. |
полуплоскости с |
горизонтальным вырезом |
[47]: |
Схема вязкопластпчного течения в |
|||
1 — мульда оседания; 2 — элементарная |
мульда оседания; |
3 — элементарная выработка; |
4 — вырез |
Рис. 130.
Схема оседания земной поверхности над очистной выработкой, пройденной по наклонному пласту
мульды могут быть скорректированы в соответствии с данными натурных на блюдений за оседанием земной поверхности (так, например, для ЛьвовскоВолынского каменноугольного бассейна w — 4). Подобного рода гиперболи ческая функция для определения оседаний была также получена при исследо ваниях на модели, выполненной из эквивалентного материала на основе же латина, в которой была вырезана щель, имитировавшая очистную выработку [173].
Теоретически полное оседание над серединой очистной выработки (х = 0) в соответствии с уравнением (233) достигается для выемочного поли
бесконечной длины; однако уже над очистной выработкой длиной I = 1000 м
на глубине 800 м максимальное значение составляет уже 98,6% |
полного осе |
|
дания аМ. Для очистной выработки длиной 250 м (неполная |
подработка), |
|
Н = 800 м и ( о = 4 оседание |
над контуром выработки и над ее серединой со |
|
ставляет соответственно 42,4 |
и 55,0% полного оседания, а точка, в которой |
|
оседание равно половине максимального (в данном случае 27,5%), распола гается над зоной опорного давления (см. рис. 106). С увеличением длины очистной выработки эта точка смещается по направлению к контуру очистной выработки, и по достижении площади полной подработки оседание над кон туром выработки составляет 50% полного оседания, т. е. так же как и при
расчете с помощью |
интеграционной сетки. Величина оседания у края мульды |
|||
уменьшаются на расстоянии х |
= 500 м |
(у = 54°) в 2,1 |
раза. т. е. до 45%. |
|
При наклонном |
залегании |
пласта |
начало координат |
помещают в точно |
пересечения линии падения пласта с земной поверхностью (рис. 130). Тогда выражение для оседания точки Р земной поверхности с абсциссой х и учетом принятых на рис. 130 обозначений, примет вид
и,2 |
х —0.51—Mil |
th (со |
х -f- 0,51— XIIо |
(2?Л) |
|
IIЛ |
|
Hi |
|
Выражения в числителях дробей введены для того, чтобы сместить, кривую оседания в направлении падения пласта в соответствии с данными наблюдений. Множитель К подбирается эмпирически — для начала его можно принять равным 2. С учетом указанных выше допущений и закономерностей вязкопластичного течения моделирующей среды изложенное решение дает результаты, весьма близкие к фактическим кривым оседания, хотя величина оседания над контуром очистной выработки для условий каменноугольных бассейнов ФРГ, характеризующихся высокой степенью нодработаиности мас сива, получается несколько завышенной (так же как и при расчете с помощью интеграционной сетки). Реологическая модель породного массива, учиты вающая как упругие и пластические свойства пород, так и фактор времени, пока разработана только для участков горного массива вблизи забоев гори зонтальных выработок типа штреков [248].
8.4.4.
Метод конечных элементов
К способам расчета, основанным на теории упругости, относится также метод, конечных элементов. В подразделе 3.3.5 было показано на примере стержне вого и треугольного элементов, как обеспечивается совместимость контуров деформированного элемента при помощи предписанного поля перемещений [линейный полином уравнения (86)] и как может быть задано соотношение между силами, приложенными в узловых точках, и траекториями перемещений узловых точек при помощи матрицы жесткости [уравнение (74)]. Кроме того, было поставлено условие равновесия элемента при применении принципа виртуальных перемещений, сформулированное следующим образом: при воз можном перемещении узловой точки на бесконечно малую величину сумма выполненной при этом внешней и внутренней работы равна пулю [уравнение (98)]. Виртуальная внешняя работа равна произведению действующих на узло вую точку внешних сил и виртуальных перемещений, а внутренняя работа — произведениям внутренних напряжений на виртуальные растяжения, вызван ные указанными перемещениями [уравнение (99)], проинтегрированным по пло щади элемента. В полученной таким способом системе уравнений (74) соотно шения между силами, приложенными в каждой узловой точке, и перемещениями этой точки, устанавливаются с помощью коэффициентов матрицы жесткости (табл. 15).
Вотношении выбора формы элементов и граничных условий, применительно
крешению задач о сдвижении земной поверхности, проведенными маркшей дерским институтом Берлинского технического университета исследованиями установлено следующее [2741.
Для моделирования систем неправильной формы более всего подходят
треугольные элементы, однако при этом необходимо применять густую сетку элементов, поскольку напряжения и деформации изменяются только от элемента к элементу. С другой стороны, прямоугольные элементы1 вследствие линейного
1 Формулы, соответствующие уравнениям (86)— (100), для элементов прямоугольной формы приведены в работах [274, 219], в которых для каждого элемента приняты отдельныесистемы координат, различные для перемещений узловых точек п для перемещений точек внутри контура элемента.