Следует отметить, что существуют и другие модели формирования сетей, включая, например, подходы с точки зрения теории игр, где игроки выбирают контрагентов, оценивая выгоды (платежи) от наличия связей См. например: Allen F., Babus A. Networks in Finance // The Network Challenge: Strategy, Profit, and Risk in an Interlinked World / Ed. by P.R. Kleindorfer, Y. Wind. - Upper Saddle River: Pearson Education, 2009. P. 367-382; Cohen-Cole E., Patacchini E., Zenou Y. Systemic Risk and Network Formation in the Interbank Market // CAREFIN Research Paper. January 2013. Retrieved from: http://people.su.se/~yvze0888/Cohen_Patacchini_Zenou_25.pdf, а также модель предпочтительного присоединения (preferential attachment), название которой дали А.-Л. Барабаши и Р. Альберт Albert R., Barabasi A.-L. Statistical Mechanics of Complex Networks // Reviews of Modern Physics. Volume 74. January 2002. Pp. 47-97. и на которой мы остановимся подробнее. Модель начинается с небольшого числа узлов m0 Предполагается, что изначально m0и степень каждого присутствующего узла не меньше 1 (в противном случае при росте сети узел всегда будет оставаться не связанным с остальными узлами)., к которым на каждом временном шаге добавляется новый узел, соединяемый с т присутствующими в сети узлами т ребрами (при этом тт0) исходя из того, что вероятность Р(ki) того, что новый узел будет соединен с уже имеющимся в сети узлом i, зависит от степени ki узла i: Р(ki) = , где в знаменателе - сумма степеней всех уже присутствующих в сети узлов. Таким образом, наблюдается «предпочтительное присоединение» новых узлов к тем узлам, степени которых в сети наиболее высоки. Как заметили А.-Л. Барабаши и Р. Альберт, в сетях, создаваемых в соответствии с их моделью, распределение степеней узлов подчиняется степенному закону, то есть такие сети являются безмасштабными. Примененный А.-Л. Барабаши и Р. Альбертом механизм предпочтительного присоединения часто успешно использовался исследователями для объяснения формирования таких видов реально существующих сетей, как Всемирная паутина, социальные сети, сеть цитирования научных журналов и т.д., в то время как ее применимость для генерации сети, представляющей рынок МБК, не совсем однозначна: в частности, Ж. Де Мази и другими De Masi G., Iori G., Caldarelli G. A Fitness Model for the Italian Money Market // Report № 06/08. London, City University, Department of Economics. 2006. 5 p. было отмечено, что механизм предпочтительного присоединения не подходит для описания создания сети, соответствующей рынку МБК Италии.
В нашем исследовании будет применена модель с использованием вероятности Эрдеша-Реньи, дающая возможность проанализировать различные варианты структуры рынка МБК (при изменении величины параметра p, а также изменении других ключевых параметров, касающихся устройства и участников рынка), сконцентрировавшись на влиянии основных параметров рынка на его устойчивость Оборотной стороной возможности реализовать разнообразные структуры рынка по модели Эрдеша-Реньи является упрощенность представления банковской системы; однако анализ влияния ключевых характеристик рынка может быть произведен в соответствии с ней, а влияние на устойчивость более подробных характеристик рынка могут стать предметом будущих исследований автора.. К тому же развитие модели с некоторыми простыми предпосылками позволяет проанализировать структуру рынка с различными типами участников, не слишком сложную, но довольно схожую с действительным положением вещей (о чем подробнее будет сказано в параграфе 2.1). Осуществить реализации случайного графа с определенными задаваемыми параметрами нам позволит программа FlowNetwork 2.0, созданная представителями Банка Англии и предназначенная как раз для анализа устойчивости рынка взаимосвязанных финансовых агентов (рынка МБК) к шокам и распространению банкротств. Механизм создания сети и анализа распространения банкротств через данную программу соответствует подробно описанному в Главе 2 данной работы.
1.3 Механизм «заражения» на рынке межбанковского кредитования
Механизм распространения банкротств на рынке МБК представляется, на первый взгляд, довольно понятным и однозначным. Тем не менее, можно обнаружить некоторые отличия в его описании разными исследователями.
В работе П. Э. Миструлли Mistrulli P.E. Assessing financial contagion in the interbank market: Maximum entropy versus observed interbank lending patterns // Journal of Banking & Finance, Elsevier. Vol. 35(5). May 2011. Pp. 1114-1127, посвященной анализу подверженности всего рынка МБК Италии риску «заражения» на основе данных о действительных позициях банков по отношению друг к другу на конец 2003 г., исследуется масштаб распространения банкротств вследствие специфического локального шока, вызывающего первоначальное банкротство каждого (одного) банка поочередно. После первоначального банкротства банка подсчитываются потери, понесенные банками-кредиторами первого банка-банкрота. В случае, если объем понесенных таким образом потерь превышает величину капитала и резервов каких-либо банков-кредиторов, они также становятся банкротами. Затем производится новая аналогичная итерация, то есть проверяется, вызовет ли банкротство этих банков последующие банкротства и т.д., и этот механизм повторяется до тех пор, пока при очередной итерации ни один новый банк не оказывается банкротом или когда все банки-участники рынка оказываются банкротами. При каждой новой итерации (или раунде) банки, обанкротившиеся на одном из предыдущих шагов, «выбрасываются» из совокупности банков, которые могут быть «заражены» на данном шаге.
Используя обозначения П. Э. Миструлли, это означает следующее: в механизме «заражения», инициированном первоначальным банкротством банка i, на n-ой итерации банк j также банкротится, если: , где Сnj,i - объем капитала и резервов банка j на n-ой итерации механизма, инициированного банкротством банка i, равный: , где б - заданный уровень потерь при банкротстве связанного банка (loss-given-default rate), xjk - общая сумма средств, одолженных банком j банку k, и - множество банков-банкротов после (n-1)-ой итерации. Формальное представление алгоритма «заражения» можно найти в Приложении 1. Следует отметить, что в этой модели уровень потерь при банкротстве связанного банка постоянен на всех итерациях и одинаков для всех банков-участников рынка, связанных с банкротом. Автор объясняет это тем, что банкротства банков в реальности случаются нечасто; как следствие, сложно оценить, каков уровень потерь для банков, связанных с банкротом на рынке МБК. Поэтому в своей модели П. Э. Миструлли оценивает риск распространения «заражения» на рынке МБК при разных значениях уровня потерь (от 0 до 1). Помимо широко применяемого показателя (который будет использован и в данной работе) - числа обанкротившихся в результате «заражения» банков, П. Э. Миструлли использует и некоторые другие, характеризующие подверженность рынка распространению «заражения»: доля активов банков-банкротов в совокупных активах банковской системы, число «заражающих» банков, число устойчивых к заражению банков.
Описанный алгоритм, называемый иногда последовательным, чаще всего используется при рассмотрении риска «заражения» на рынке МБК См. например: Furfine C.H. Interbank Exposures: Quantifying the Risk of Contagion // Journal of Money, Credit and Banking. Vol. 35. № 1. 2003. Pp. 111-128; Upper C., Worms A. Estimating Bilateral Exposures in the German Interbank Market: Is There a Danger of Contagion? // European Economic Review. Vol. 48. Issue 4. 2004. Pp. 827-849; Toivanen M. Financial Interlinkages and Risk of Contagion in the Finnish Interbank Market // University of Vaasa, Department of Economics Working Papers. № 11. 2009. 38 p.. Однако он не учитывает того факта, что банкротства на последующих шагах-итерациях увеличивают потери банков, которые обанкротились раньше, что должно отражаться в повышении уровня потерь б по их обязательствам для остальных банков. Поэтому некоторые исследователи, такие как Л. Айзенберг и Т. Х. Ноу Eisenberg L., Noe T.H. Systemic Risk in Financial Systems // Management Science. Vol. 47. № 2. February 2001. Pp. 236-249., применяют иной алгоритм, состоящий из следующих действий: подсчитываются потери каждого банка-участника рынка от банкротства одного банка первого порядка; если эти потери для всех банков не превышают их капитала и резервов, то механизм останавливается; если же есть один или несколько банков, потери которых выше их капитала и резервов и, как следствие, они банкротятся, то алгоритм начинается сначала так, как если бы банками-банкротами первого порядка были эти банки; если в этом случае банкротство не распространяется на другие банки, то механизм останавливается; если же появляются новые банкроты, то алгоритм начинается сначала с ними и т.д.
Еще один механизм распространения заражения на рынке МБК описывается в работе М. Эболи Eboli M. Systemic Risk in Financial Networks: a Graph-Theoretic Approach // Universita “G. d'Annunzio”, Facolta di Economia. Pescara, Italy. 2007. 19 p., в которой предлагается метод анализа распространения «заражения» в финансовых сетях, основанный на подходе потоков в сетях. В данной модели в общем случае сеть финансовых агентов (для нашего случая, банков) состоит из нескольких видов узлов: n узлов, представляющих этих агентов-банков; m узлов-истоков, не имеющих входящих ребер и представляющих активы агентов вне сети (т.е. вне рынка МБК; далее - внешние активы, external assets ak для банка k); и конечный узел-сток t, не имеющий исходящих ребер. Отмечается, что в случае локального шока для одного банка, пострадавший от шока банк-узел является одновременно узлом-истоком.
При шоке для банка он теряет долю bk от своих внешних активов ak, большую нуля. В графе-сети это представляется следующим образом: «активизируется» узел-исток, посылающий эти потери по ребру связанному с ним банку-узлу. Эти потери в первую очередь принимает на себя собственный капитал банка-узла. Доля потерь, «поглощенная» собственным капиталом банка, направляется в узел-сток, являющийся виртуальной «корзиной», куда переправляются все потери, принятые на себя собственным капиталом банков-узлов. В случае, если потери превышают размер собственного капитала банка, он становится банкротом, а оставшаяся доля потерь посылается по ребрам банкам-кредиторам, с которыми банкрот связан в сети. Каждый банк-кредитор банкрота теряет долю от одолженной банкроту суммы, равную отношению потерь банкрота, оставшихся непокрытыми его капиталом, и суммы всех занятых им на рынке средств. Если для какого-либо банка потерянная сумма превышает его собственный капитал, то процедура отправления потоков повторяется и т.д. Развитая М. Эболи методология позволяет ему в общих чертах рассмотреть вопрос о том, как различные характеристики структуры сети влияют на ее устойчивость к распространению «заражения» (банкротств). По этой причине данная методология, с некоторыми уточнениями и с применением модели случайных графов, будет основой для нашего анализа, в котором мы установим зависимости между некоторыми характеристиками структуры и участников рынка и его устойчивостью к «заражению», в отличие от работы М. Эболи, сформулировавшего только несколько обобщенных особенностей влияния структуры рынка на его устойчивость (например, выгодность в плане устойчивости к «заражению» максимальной связности сети и увеличения капитала участников сети).
2. Модель распространения банкротств на рынке МБК Италии
2.1 Структура и характеристики рынка МБК: отправной случай Италии
Изучение устойчивости рынка МБК к риску распространения «заражения» банкротствами начнем с описания отправного случая, которому свойственны ключевые параметры рынка Италии.
Рынок МБК мы представляем в виде графа с определенным количеством узлов, представляющих банки-участники рынка, соединенные между собой направленными связями-ребрами, причем входящее в узел ребро означает отношения «кредитор-заемщик» на рынке МБК, в то время как исходящее из узла ребро означает отношения «заемщик-кредитор». Число узлов-банков принимаем равным 61, что соответствует числу участников рынка MIC Италии на конец 2010 года Financial Statements 2010 // e-MID SIM S. p. A. Milan, 2011. Retrieved from: http://www.e-mid.it/images/stories/file/Annual_Report_2010.pdf - последние доступные данные по рынку.. Данный рынок является электронной платформой, действующей в Италии под управлением e-MID SIM S. p. A. как сегмент e-MID, на котором банки-участники могут занимать и одалживать друг другу суммы в пределах внесенного с этой целью в виде финансовых активов обеспечения и под гарантийную схему, за реализацией которой с октября 2010 г. следит Cassa di Compensazione e Garanzia , получающая определенную комиссию от банков-участников (ранее это делал Банк Италии). Большая же часть нашего исследования будет посвящена анализу ситуации на рынке, как если бы это был рынок без обеспечения и гарантии, и затем будет показано, чту в плане устойчивости к «заражению» достигается на рынке благодаря обеспечению. На рынок с 61 участником мы переносим свойства, характерные для рынка МБК Италии в целом, считая их отправными значениями параметров. Взятие такого числа участников, а не всего количества банков Италии (около 800 в 2010 г.), позволяет упростить реализацию схемы «заражения» в программе В ней имеется возможность задать количество банков-участников в пределах от 1 до 100. (подробнее схема будет изложена в следующем параграфе), сохранив при этом суть исходов благодаря тем же отправным параметрам, представляемым в относительном выражении.
Для реализации случайного графа в упомянутой ранее программе необходимо также задать вероятность Эрдеша-Реньи того, что один банк-участник (а) занимает у другого банка-участника (b), то есть что существует ребро, направленное от банка a к банку b Вероятность того, что между этими банками есть ребро в обратном направлении, также равна p1.. Для случая однородных банков, который будет рассмотрен как один из частных случаев структуры рынка, эта вероятность (p1) одинакова для каждой пары банков; тогда среднее количество связей Учитывая как связи, представляющие отношения «кредитор-заемщик» (входящее ребро в программе), так и связи, представляющие отношения «заемщик-кредитор» (исходящее ребро) между банками (то есть между двумя банками могут быть два ребра в противоположных направлениях). Если быть точнее, указанная в тексте формула отвечает за ожидаемое число ребер-связей в реализации сети, однако очень часто в литературе по теме именуется средним числом ребер. на рынке с 61 участником задается как 61(61-1)p1, что равно 3660p1. Для отправного случая в ситуации однородных банков принимаем эту вероятность равной 0,1 (то есть 10%), что соответствует наличию в среднем 6 направленных связей для каждого банка и приблизительно соответствует характеристикам рынка Италии во второй половине 2000-х гг. См.: Iazzetta C., Manna M. The Topology of the Interbank Market: Developments in Italy since 1990 // Banca d'Italia Working Papers. № 711. 2009. 33 p.
В то время как в более реалистичной ситуации гетерогенных банков, которую позволяет реализовать программа Предполагается наличие двух типов банков - крупных и небольших., отдельно задается вероятность наличия направленной связи от одного небольшого банка к другому небольшому банку (p) и вероятность наличия направленной связи между крупным банком и другим (любым) банком-участником рынка (q). Такое разделение на два вида банков с разной вероятностью наличия связей у них выглядит вполне обоснованным, поскольку в действительности, как правило (как отмечают исследователи рынков МБК разных стран, включая Италию См. например: Boss M., Elsinger H., Summer M., Thurner S. An Empirical Analysis of the Network Structure of the Austrian Interbank Market // Oesterreichische Nationalbank. Financial Stability Report. Issue 7. June 2004. Pp. 77-87; Iazzetta C., Manna M. The Topology of the Interbank Market: Developments in Italy since 1990 // Banca d'Italia Working Papers. № 711. 2009. 33 p.), часто оказывается, что всего несколько крупных банков имеют большое число связей с банками-участниками рынка МБК, а остальные меньшие банки имеют сравнительно небольшое число связей между собой. Поэтому анализ такой ситуации (с варьированием величины различных параметров) представляет для нас больший интерес. Как это принято в статистике ЕЦБ EU Structural Financial Indicators // ECB, 30 October 2012. Retrieved from: http://www.ecb.int/stats/pdf/121030_ssi_table.pdf?7dba84072cf6b398ea7efda7fa000c1b, выделим пять крупных банков, и вероятность наличия связей для них (q) будет выше вероятности (p) для остальных 56 банков в сети Поясним, что в рассматриваемых в работе случаях (кроме представленных на Графиках 5 и 6 в Главе 3) принимается такое соотношение вероятностей наличия связей между банками (s - небольшой банк, l - крупный банк, p(i,j) - вероятность наличия связи между банками i и j): p(l,l) = p(l,s) = p(s,l)p(s,s).. Тогда для отправного случая в этой ситуации примем вероятность p равной 0,05 (5%), а вероятность q рассчитаем так (с учетом указанного p), чтобы среднее (ожидаемое) количество связей для отправной ситуации с гетерогенными банками (равное , где s = 56 - число небольших банков в сети, l = 5 - число крупных банков, N = 61 - общее число банков на рынке) было сопоставимо со средним числом связей для отправного случая однородных банков (N(N-1)p1); то есть q будет равна 0,36 (36%). Необходимо также задать значение для доли пяти крупнейших банков в совокупных «внешних» активах сети, которую для простоты анализа везде принимаем равной 40% (что соответствует доле крупных банков в активах системы для Италии на конец 2010 года EU Structural Financial Indicators // ECB, 30 October 2012. Retrieved from: http://www.ecb.int/stats/pdf/121030_ssi_table.pdf?7dba84072cf6b398ea7efda7fa000c1b. Сохраняем значение показателя на этом уровне, дабы избежать ситуации слишком концентрированного рынка с большим числом незначительных участников.). Соответственно, на небольшие банки приходится 60% «внешних» активов рынка.