Материал: Разработка методики формирования оптимального портфеля ценных бумаг с использованием асимметричных возмущенных мер риска

Возмущающая функция прерывна в данном случае, поэтому VaR не является когерентной мерой риска.

1)   CVaR может быть определена как ВМР, основанная на возмущающей функции:

CVaR является когерентной мерой риска, но функция возмущения не дифференцируема в x =1-p.

В данной работе мы рассмотрим новые ВМР. Применим понятие асимметрии относительно построения ВМР.

.2 Теория проспектов

Понятие асимметрии восприятия риска инвесторов было рассмотрено в работе Д.Канемана и А. Тверского [27]. Различные подходы оценки финансовых рисков отражают как сложность рынка, так и многообразие психологического восприятия риска. Так в 1979 г. Д. Канеманом и А. Тверским была предложена теория проспектов (Prospect Theory), описывающая принятие решения в условиях риска.

В основе своей Теория Перспектив опирается на три неотъемлемых свойства функции оценки простых рисковых лотерей или шансов. Данные свойства отражают психологические правила, характерные для различных индивидов в ситуациях выбора между простыми альтернативами, предусматривающими риск (см. рис.):

Рисунок 2.1 - Типичная функция

а) Зависимость от исходного положения (reference de-pendence) - то есть данная функция оценки определена в координатах «выигрыши» и «убытки», ценность которых, в свою очередь, пределяется относительно референтной, исходной точки. Альтернативы оцениваются индивидами не в терминах категорий общего совокупного благосостояния, а посредством изменений в благосостоянии относительно так называемого положения статус-кво, начального положения.

б) Уклонение от потерь (loss aversion)- другими словами, функция является более крутой в случае убытков (отрицательная область определения), чем в случае выигрышей (положительная область определения).

Обычно, в большинстве случаев, вогнутая для выигрышей и выпуклая для потерь.

в) Уменьшающаяся чувствительность (diminishing sensitivity) - то есть

предельная ценность как выигрышей, так и потерь уменьшается с увеличением их размера. Данное свойство является отличительной характеристикой и функции оценки (value function), и функции взвешивания вероятностей (probability weighting function), используемых в теории Перспектив.

Данные свойства имеют своим результатом асимметричную, S-образную функцию оценок, вогнутую выше референтной точки и выпуклую в области ниже ее. Кратко поясним каждое из них.

Первое свойство - зависимость от исходного положения - совместимо с главными принципами человеческих ощущений, восприятий и формированием суждений. По утверждениям психологов, наша система восприятия внешнего мира более приспособлена к оценке произошедших изменений, различий между тем-то и тем-то, чем к оцениванию абсолютных величин. Когда мы реагируем на такие характеристики, как яркость, громкость или температура, то прошлый и нынешний опыт, условия среды, в которой мы находимся, определяют так называемый уровень адаптации (adaptation level) или исходное положение, и поступающие стимулы, раздражители воспринимаются и ощущаются нами по отношению к данному исходному положению.

Второе свойство - уклонение от потерь - представляется более чем обоснованным, исходя из распространенного жизненного опыта, который говорит нам о том, что личные переживания, связанные с потерей определенной суммы денег, кажутся или представляются нам более значительными, чем переживания, связанные в получением, выигрышем одинаковой суммы денег. Другими словами, люди больше опасаются негативных изменений в собственном благосостоянии, нежели положительных, так как в случае первых они ухудшат свои текущие условия жизни.

Третье свойство- уменьшающаяся чувствительность-также обязано исследованиям психологов, подавляющее большинство из которых разделяет мнение, что математическая зависимость между величиной раздражителя, воздействующего на органы чувств людей, и соответствующей ему величиной психологического ощущения является убывающей, обратно пропорциональной. В рамках теории Перспектив данный принцип используется для оценки изменений, произошедших в денежном благосостоянии индивидов. Другими словами, разница в оценке между выигрышем, получением ста денежных единиц и двухсот представляется большей, нежели разница в оценке между выигрышами в 1 100 и 1 200 денежных единиц.

В результате накопленных во второй половине двадцатого века разнообразных экспериментальных свидетельств и фактов (парадокс М. Алле, исследования У. Эдвардса, Д. Канемана, А. Тверски и многих других) стало ясно, что индивиды воспринимают и оценивают значения вероятностей появления событий и явлений окружающего мира нелинейным образом. Выражаясь более конкретно, индивиды обычно переоценивают, придают больший вес и значение определенным событиям по сравнению с объективно имеющимися данными, характеризующими последние, и недооценивают другие явления.

В области принятия решений в условиях риска это выражается в том, что события, характеризующиеся малыми, небольшими вероятностями появления, люди систематически переоценивают, в то время как события, характеризующиеся значительной степенью реализации, они систематически недооценивают, исходя из своего субъективного восприятия.

Наибольший интерес вызывает в данном случае то, что обнаруженные феномены относятся по своему содержанию к различным областям и сферам экономической деятельности людей (финансовые рынки, страхование, потребительское поведение), тем самым свидетельствуя об универсальном характере моделей.

Перечислим и кратко охарактеризуем некоторые из них.

) Головоломка о доходности капитала (equity premium puzzle)- слишком высокая доходность денежных средств, вложенных в акции по сравнению с доходностью государственных облигаций или активов, не сопряженных с риском.

) Эффект размещения (disposition effect) - чрезмерно долгое владение индивидами проигрышными акциями, то есть ценными бумагами, падающими в цене, и в то же время слишком быстрая продажа акций, растущих в стоимости.

) Асимметричные ценовые эластичности - покупки людей являются более чувствительными к увеличению цены по сравнению с одинаковым уменьшением, снижением последней;

) Невосприимчивость к плохим новостям, касающимся располагаемого дохода, - потребители не снижают достигнутый уровень потребления после поступления отрицательной, неблагоприятной информации о собственных доходах.

) Переоценка возможных потерь и выгод - приобретение потребителями завышенных в цене страховых полисов от нежелательных исходов, а также лотерейных билетов, при том, что ожидаемая полезность выигрыша, как правило, ниже стоимости самого билета.

Наибольший интерес с теоретической и практической точек зрения среди всех вышеперечисленных феноменов представляет собой явление, получившее в научной литературе название головоломки о доходности капитала. Поясним суть данного явления на конкретном примере из реальной жизни, позаимствованном нами из работы Дж. Сайгела и Р. Талера «Аномалии: головоломка о доходности ценных бумаг» 1997 года издания.

Предположим, что ваша бабушка располагала определенной свободной суммой денег в конце 1925 года и, поступая в соответствии с гипотезой рациональных ожиданий, а также предвидя ваше появление на этот свет, решила передать вам по наследству 1 тысячу долларов США. Естественно, что, так как вы еще не родились, она решила инвестировать деньги и, опасаясь спекулятивного бума, набиравшего обороты как раз в тот самый период, вложила их в государственные казначейские обязательства, попросту облигации (Treasure bills), в которых они хранились до 31 декабря 1995 года. На эту дату их общая стоимость составила 12 720 долл. Представьте себе при этом, что вместо того чтобы вложить деньги в облигации, ваша бабушка инвестировала их в портфель ценных бумаг, взвешенный по стоимости наиболее ликвидных акций на рынке. При подобном варианте развития событий ваша прибыль на момент окончания 1995 года составила бы 842 000 долл. или, что-то же самое, была бы больше в 66 раз. Подобная разница в доходности различных вариантов инвестирования денег является чрезвычайно большой.

Таким образом, разница между доходностью акций и доходностью безрискового актива (risk>free asset), например такого, как государственные облигации, называется доходностью капитала (the equity premium) или доходностью капитала, сопряженного с риском (платой за риск), поскольку полагается, что эта разница может быть приписана более высокому риску, связанному с инвестированием капитала в акции. Реальный, эмпирический факт, состоящий в том, что доходность капитала является слишком большой, чтобы быть объясненной в категориях стандартных экономических моделей, и называется головоломкой о доходности капитала.

Биржевые пузыри всегда были частью истории рынка. Так, например, спекулятивные операции на рынке Нидерландов в XVII в. взвинтили цены на луковицы тюльпанов до абсурдного уровня. Последовал неизбежный обвал рынка. С тех пор, со времен Великой депрессии до недавнего фиаско доткомов, человечество, судя по всему, не избавилось от тяги к спекуляциям. Люди вновь и вновь совершают все те же ошибки.

Д. Канеман и А. Тверски обнаружили, что обычно человек действует в соответствии с правилом, которое они окрестили «законом малых чисел», т. е. делает далекоидущие выводы на основании небольшого объема данных. Например, мы вкладываем деньги в фонд, успешно действующий на рынке 3 года подряд, убежденные, что он «поймал удачу за хвост». Люди, кажется, не в состоянии удержаться от того, чтобы преувеличивать значение нескольких подтверждающих фактов. Ограниченное статистическое подтверждение наших домыслов, очевидно, тешит нашу интуицию, неважно, насколько адекватна полученная таким образом картина реальности.

Также Д. Канеман и А. Тверски выяснили, что нам настолько неприятны убытки, что в тщетных попытках их избежать мы склонны принимать иррациональные решения. Это помогает объяснить, почему некоторые инвесторы слишком рано продают прибыльные акции, а убыточные удерживают слишком долго. Такое поведение лежит в основе человеческой природы - быстро забирать прибыль с рынка, предполагая, что благоприятная для нас конъюнктура не продлится долго, и удерживать убыточные ценные бумаги, напрасно надеясь, что неблагоприятная тенденция сменится на противоположную.

Любое обсуждение того, почему инвесторы являются своими собственными злейшими врагами, когда речь заходит о признании своей неправоты, должно начинаться с понятия невозвратимых издержек. Безвозвратные издержки - это материальные и временные затраты, которые вы уже понесли и которые не могут быть возмещены. Использование категории безвозвратных издержек позволяет воспринимать убытки убытками и ничем более. Хотя все мы понимаем, что понесенные безвозвратные издержки не должны оказывать влияние на наши текущие решения, но забыть прошлое нам удается с трудом. Человек может покупать больше акций, даже если их курс падает, лишь потому, что первоначально было принято решение об их покупке. Затем он может гордо заявить: «Я купил их с дисконтом!» Разумеется, если курс этих акций больше никогда не вырастет, как зачастую и происходит, эта теория терпит крах.

Эксперимент с театральными билетами стоимостью $10 показывает, как мы иррациональны, когда речь заходит о безвозвратных издержках. Д. Канеман и

А. Тверски попросили группу испытуемых представить, что, придя в театр, они обнаружили, что потеряли свой билет. «Заплатили бы вы еще $10 за новый билет?» - спрашивали участников эксперимента. Другой группе испытуемых предложили представить, что они собираются пойти на спектакль, но не приобрели билет заранее. В театре они поняли, что потеряли десятидолларовую банкноту. Повлияло бы это на их решение о покупке билета? В обоих случаях предмет эксперимента заключался в получении ответа на простой вопрос: «Потратили бы вы $10, чтобы посмотреть постановку?» Восемьдесят восемь процентов участников второй группы испытуемых, которые «потеряли» $10, сказали, что купили бы билет. Однако в первой группе, где испытуемые представили, что потеряли билет, сосредоточившись на невозвратимых издержках, склонны были ставить вопрос иначе: «Готов ли я потратить $20, чтобы посмотреть пьесу, билет на которую стоит $10?» Лишь 46% ответили утвердительно.

Теория Перспектив (Prospect theory), предложенная Д. Канеманом и А. Тверски, оказалась чрезвычайно востребованной в экономической науке. Во многом подобное положение дел объясняется тем фактом, что в теоретическом анализе были задействованы факторы, характеризующие непреходящие наклонности людей, свойства человеческой природы, если хотите, которые являются следствием процессов более высокого уровня физиологической организации, нежели приписываемая индивидам, в данном случае экономистами, способность выбирать наилучшую, оптимальную стратегию поведения.

.3 Асимметричная возмущенная мера риска

В данной работе применяется идея асимметрии к стандартному построению ВМР. Пусть  - пара неубывающих функций, :[0,1][0,1]. Определим АВМР формулой:

.

Здесь - дополнительная функция распределения риска. Стандартная ВМР соответствует случаю, когда .

В качестве возмущающей функции в данной работе будет использована функция вида

.4. Свойства асимметричных возмущенных мер риска

. АМВР не зависит от самого риска Х, а зависит только от функции распределения.

. Если g (t) = (t, t) ,то W(X)= -E [X], где E- математическое ожидание.

. W(0) =0. В этом случае x(t) = 0 при t >0, x(t) = 1 при t <0.

. АВМР является положительной для гарантированных убытков (x(t) =0 при t >0) и отрицательной для гарантированных прибылей x(t) =1 при t <0) .

. АВМР неаддитивна в общем случае, в частном случае комонотонных рисков X, Y , которые всегда принимают значения одного знака, аддитивность справедлива.Случайные величины называются комонотонными, если рост одной из них сопровождается неубыванием другой.

. АВМР является монотонной: если почти наверное X ≤ Y, то W(X) ≥ W(Y) Действительно в этом случае x(t) ≤Y(t) при любом t , откуда и следует нужное неравенство.

. АВМР является положительно однородной. Если λ ≥ 0, то W (λ X)=

λ W(X). Данное свойство показывает, что мера риска измеряется в тех же единицах, что и сам риск. Это в частности позволяет использовать подобную меру в актуарной деятельности, когда мера риска интерпретируется как размер страховой премии.

. АВМР является функционально инвариантной относительно трансляций, т.е. функция φ (X+a) детерминированной переменной a является непрерывной и невозрастающей.

. Возмущенная мера риска субаддитивна при выпуклой функции g(t),