Материал: Разработка методики формирования оптимального портфеля ценных бумаг с использованием асимметричных возмущенных мер риска

Агрессивный тип инвесторов характеризуется лояльным отношением к риску, включением его в свою инвестиционную стратегию, предполагающую как высокую доходность вложений, так и перспективный рост курса ценных бумаг, входящих в портфель инвестора. Этим объясняется ставка на ценные бумаги среднего и низкого качества, а также на акции роста, высоко рискованные ценные бумаги динамично развивающихся отраслей. Опытные инвесторы обладают богатой практикой инвестиционной деятельности, знают и умеют прогнозировать конъюнктуру фондового рынка. Поэтому вложенные ими средства в ценные бумаги с объективно высоком уровнем риска обеспечивают им высокий доход, стабильный рост вложенного капитала наряду с высокой ликвидностью, т.е. возможностью легко реализовать ценные бумаги на вторичном рынке в случае непредвиденного развития ситуации в нежелательном направлении.

Наконец, игроки или изощренные инвесторы - не боящиеся пожертвовать своим капиталом ради получения максимальной выгоды. Формируют свой инвестиционный портфель спекулятивными ценными бумагами низкого качества с колеблющимся курсом, пытаются играть на изменении курса национальной валюты.

Если финансовые характеристики (доходность и ее колебания) инвестиционного института, который рассматривается в качестве возможного объекта вложений, на протяжении ряда лет лучше, чем характеристики фондового рынка в целом (лежат выше прямой, соединяющей точку с гарантированным доходом (и значит, с нулевым отклонением) и точку среднего дохода и среднего отклонения дохода финансового рынка в целом), значит, этот инвестиционный институт - действует более эффективно, чем рынок в целом, независимо от стратегии в области рискованных инвестиций, которую он проводит.

.4.1 Понятие меры риска

В самом общем смысле мера риска  это функционал, который сопоставляет числовое значение случайной величине X - будущей прибыли. Не любой функционал соответствует интуитивным представлениям о риске. Одно из свойств меры риска заключается в том, что при росте прибыли мера риска уменьшается.

Гувартцу и др. (1984) принадлежит пионерская работа, в которой применен аксиоматический подход к определению меры риска в актуарной теории, здесь мера риска анализируется в приложении к принципам назначения страховых премий. Артцнер и др.(1997) перенесли аксиоматический подход к определению меры риска на финансовую сферу.

В 1997 году была опубликована работа ученых Артцнера, Делбэна, Эбера и Хита о когерентных мерах риска. Впервые была разработана и формализована система требований к мере риска. Эти ученые предложили четыре свойства-аксиомы, которыми должна обладать любая мера риска.

Введем следующие обозначения: X-случайная величина, p(X) - мера риска.

Когерентными называются меры риска, которые обладают следующими свойствами:

) Монотонность. Для любых случайных портфельных доходностей X и Y, таких что XY

p (X)p (Y)

Свойство монотонности означает, что если доходность X одного финансового инструмента не меньше чем доходность Y другого финансового инструмента, то риск первого финансового инструмента не превышает риска второго финансового инструмента.

) Положительная однородность. Данное свойство можно сформулировать следующим образом: для каждого 0 и случайной доходности портфеля X

p (X) =p (X)

Положительная однородность предполагает, что риск возрастает пропорционально объему портфеля.

3) Отношение к сдвигу. Для неотрицательного числа a0 и CR выполняется следующее свойство:

p (X+C)=p (X)-aC

Это свойство означает, что если доходность возрастает на известную константу, то риск соответственно уменьшится. На практике чаще используется a=0 или a=1.

Если a=1, это означает, что риск падает в точности на величину, равную росту дохода.

Из-за свойства инвариантности относительно сдвига следует, что

p(X+p(X)) = p(X)-p(X)=0.

) Субаддитивность. Рассмотрим два различных финансовых инструмента со случайной доходностью X и Y. Доходность по портфелю, в который войдут оба инструмента составляет X+Y.

p(X+Y)p(X)+p(Y).

Это условие означает, что риск портфеля не превышает сумму рисков компонентов портфеля.

Появившись сравнительно недавно, когерентные меры риска уже получили в научных кругах статус классических. Однако Ванг (2002) отметил, что для того чтобы использовать всю полезную информацию на большей части распределения убытка «мера риска находится за когерентностью». Более того, не все меры риска, отвечающие предложенным 4 требованиям целесообразно применять на практике в какой- либо конкретной ситуации. А. Черный опубликовал серию статей, посвященных применению когерентных мер риска к различным задачам в финансовой области.

.4.3 Основные меры риска

Value- at- Risk

В настоящее время широко применяется технология оценки рисков Value-at-Risk (VaR) [8].

Метод VaR был разработан для того, чтобы с помощью одного единственного числа отобразить информацию о риске портфеля.- это величина потерь, такая, что потери в стоимости портфеля за определённый период времени с заданной вероятностью не превысят этой величины. Потери некоторого портфеля через N дней, обозначенные через Х, являются величиной случайной и зависят от изменения котировок финансовых инструментов, входящих в портфель, за период N дней. Величина  есть квантиль уровня  распределения случайной величины X, т.е. вероятность того, что X не превосходит q, равна 0.01 ( здесь измеряется в процентах) [15]. Вычислив VaR, становится возможным формулировать утверждения типа: “Мы на % уверены, что не потеряем более, чем q за ближайшие N дней”.

Рисунок 1.5 - Значение VaR для некоторого периода времени

Мера риска «Value-at-risk» стала популярной в последние годы. Несомненно, она представляет полезную информацию. Например, организация, использующая ее, знает, каким количеством денег рискует при открытой позиции.является универсальной методикой расчета различных видов риска [27]:

ценового риска - риска изменения стоимости цены финансового актива на рынке;

валютного риска - риска, связанного с изменением рыночного валютного курса национальной валюты к валюте другой страны;

кредитного риска - риска, возникающего при частичной или полной неплатежеспособности заемщика по взятому кредиту;

риска ликвидности - риска, связанного с невозможностью продажи финансового актива, либо с большими убытками, возникающими при продаже актива в силу большой разницы величины покупки/продаже, существующей на рынке.

Расчетом VaR занимается довольно много специализированных компаний, а зачастую и собственные подразделения финансовых структур.

Несмотря на свою популярность, VAR обладает рядом существенных недостатков [9].

Во-первых, VAR не учитывает возможных больших потерь, которые могут произойти с маленькими вероятностями.

Во-вторых, VAR не может различить разные типы хвостов распределения потерь и поэтому недооценивает риск в случае, когда распределение потерь имеет “тяжелые хвосты” (т.е. его плотность медленно убывает).не является когерентной мерой, в частности, он не обладает свойством субаддитивности. Можно привести примеры, когда VAR портфеля больше, чем сумма VARов двух подпортфелей, из которых он состоит. Это противоречит здравому смыслу. Действительно, если рассматривать меру риска как размер капитала, резервируемого для покрытия рыночного риска, то для покрытия риска всего портфеля нет необходимости резервировать больше, чем сумму резервов составляющих подпортфелей, а СVaR (Conditional Value-at-Risk) - является при некоторых дополнительных (довольно слабых) ограничениях на распределение возможных потерь.

Многих недостатков, свойственных VaR, лишен СVaR. Если, как и при определении VaR, обозначить через X потери портфеля через N дней, , то CVaR(X) есть условное математическое ожидание X при условии, что X больше q.

СVaR является более консервативной мерой риска, чем VaR. Для одного и того же уровня он требует резервировать больший капитал.

Следующий пример иллюстрирует соотношение VaR и СVaR: На рынке имеется облигация номиналом 100, которая завтра должна быть погашена. С вероятностью 0.99 она будет погашена полностью, а с вероятностью 0.01 заемщик откажется от 100% исполнения своих обязательств, и полученная сумма составит только 50% номинала. Тогда потери X составят 0 с вероятностью 0.99 и 50 с вероятностью 0.01. Для =0.95 VaR(X)= 0, т.е. VaR советует не резервировать капитал вообще. Этот совет представляется странным, поскольку и потери могут быть довольно значительны, и вероятность понести эти потери не так уж мала - 0.01.

Таким образом, СVaR позволяет учитывать большие потери, которые могут произойти с небольшой (меньшей, чем) вероятностью. Он также более адекватно оценивает риск в распространенном на практике случае, когда распределение потерь имеет тяжелый хвост.

Рисунок 1.6- Значения VaR и СVaR для некоторого периода времени

Выпуклые меры риска

Понятие выпуклых мер риска было введено Фолмером [23]. Пусть X- множество случайных величин: R в будущем (с дисконтом) чистая стоимость портфеля, определенная на вероятностном пространстве (, F, P ). Кроме того, определим  как множество возможных сценариев, где мы будем считать, что ||-конечно. Можно представить X () стоимость портфеля по заданному сценарию  . В конце концов, только один из сценариев будет иметь место.

Определение 1.(Выпуклые меры риска) отображение p: X R называется выпуклой мерой риска, если только выполняются следующие свойства:

выпуклость: p (X+(1-)Y)p (X) + (1-) p (Y) для [0,1];

монотонность: X Y, то p (X)  p (Y), где X Y X () Y () для всех  ;

отношение к сдвигу: если a константа, то p(a1+X)=-a+p(X);

Выпуклая мера риска является когерентной, если в дополнении к вышеперечисленным свойствам выполняется свойство положительной однородности:

если 0, то p(X)= p(X). Положительная однородность предполагает, что риск возрастает пропорционально объему портфеля.

Глава 2. Класс возмущенных мер риска

.1 Возмущенная мера риска

Возмущенная мера риска (ВМР) является одной из новых мер риска, позволяющая отразить отношение инвестора к риску, выбрав соответствующую возмущающую функцию [24]. ВМР была получена при совместном использовании двух подходов: аксиоматического определения и определения экономической теории выбора портфеля в условиях неопределенности. Во втором подходе ВМР имеют источник в Двойной теории полезности Яари (1987). Используя аксиомы ожидаемой полезности, Яари показал, что должна существовать возмущающая функция, такая, что проспект измерения будет оценен при его возмущающем среднем. Вместо того чтобы использовать вероятность хвостов, для оценки риска, лицо, принимающее решение использует возмущенные вероятности хвостов. Для аксиоматического определения Ванг и др.(1997) постулировали аксиомы, чтобы охарактеризовать цену страхового портфеля. Эти аксиомы включают следующее: законное постоянство, монотонность, комонотонная аддитивность и непрерывность. Они также доказали, что мера риска обладает данными свойствами, когда представлена в виде интеграла Шоке.

ВМР применяется к широкому семейству страховых проблем: определение страховых премий, капитальных требований и капитальных вложений. Поскольку страхование и инвестиционные риски тесно связаны, инвестиционное сообщество начало применять ВМР для решения проблем размещения средств.

В применении к выбору оптимального портфеля ценных бумаг ВМР имеет «желательные» свойства (законное постоянство, поддадитивность, последовательность со вторым законом стохастического доминирования).

Поддадитивность обеспечивает эффект разнообразия. Вообще при формировании портфеля инвестиционный риск уменьшится через разнообразие, как было сформулировано в работе Марковица (1952г.), т.е. вложения в различные ценные бумаги. Последовательность со вторым порядком стохастического доминирования обеспечивает связь между построением меры риска и экономической теорией выбора портфеля в условиях неопределенности.

Возмущенная мера риска (ВМР) была определена как любые неотрицательные потери случайной переменной. Это достигнуто при использовании возмущающей функции g следующим образом [25]:

где g: [0,1] [0,1] - непрерывная возрастающая функция с g(0) = 0 и g(1) = 1;

FX (x) обозначает совокупную функцию распределения Х, в то время как g (FX (x)) используется как возмущающая функция распределения.

Меры риска VaR и CVaR являются частными случаями возмущенных мер риска при соответствующем выборе функции g(x) [26]:

1)   VaR соответствует возмущению: