Материал: Расчет и анализ линейных электрических цепей

Продолжение таблицы 1.2

11

1.2 Методические указания к выполнению задания №1

Рассмотрим цепь постоянного тока (рисунок 1.1), для которой заданы

Рисунок 1.1 – Схема электрической цепи

Схема содержит три ветви (В=3) и два узла (Y=2). В каждой ветви течет свой ток. Произвольно выберем направления токов в ветвях и обозначим их на схеме I1, I2, I3, пронумеруем узлы 1 и 2.

1.2.1 Расчет токов по законам Кирхгофа, проверка баланса мощностей

Для расчета токов по законам Кирхгофа составляется система уравнений, в

которой число уравнений равно числу неизвестных токов. В схеме рисунка 1.1. три неизвестных тока, следовательно, для их расчета по законам Кирхгофа составим систему из трѐх уравнений, в которой:

-одно уравнение будет по первому закону Кирхгофа (на единицу меньше числа узлов, т.е. 2–1=1);

-остальные два уравнения из трех будут по второму закону Кирхгофа, т.е.

3 1 = 2 (столько, сколько независимых контуров в схеме).

Уравнение по первому закону составим для узла 1.

Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле электрической схемы, равна нулю.

12

Для составления двух уравнений по второму закону Кирхгофа выберем независимые контуры (контуры-ячейки I и II являются независимыми) и зададимся в них направлениями обхода.

Второй закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС вдоль того же контура.

Знаки в уравнениях по второму закону Кирхгофа ставим следующим образом:

- если направление тока совпадает с направлением обхода контура, то падение напряжения RI в левой части уравнения по второму закону, берем со знаком (+),

если не совпадает – то ( ); - если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то ЭДС

записываем в правой части уравнения со знаком (+), если не совпадает – то ( ).

С учетом этого уравнения по второму закону Кирхгофа: - для первого контура

Решим ее и найдем искомые токи ветвей. Решение системы уравнений (1.4)

проведем в математической системе Mathcad, используя метод обратной матрицы.

Для решения сначала составим две матрицы - матрицу А коэффициентов правой

13

части уравнения и матрицу столбец свободных членов В, а потом искомые токи найдем по формуле I = А-1B (рисунок 1.2).

Рисунок 1.2 - Решение уравнений Кирхгофа в Mathcad

Чтобы проверить правильность расчета токов составим баланс мощностей.

Баланс мощностей: сумма мощностей источников должна быть равна сумме мощностей потребителей.

В цепи три источника ЭДС, мощность каждого из них рассчитывается как произведение ЭДС на ток, проходящий через этот источник. Так как направления ЭДС и тока каждого источника на рисунке 1.1 совпадают, то мощности всех

14

источников берем со знаком (+). В схеме пять потребителей (сопротивлений),

мощность выделяемая на каждом из них, положительна и рассчитывается как I2R.

Расчет баланса мощностей в Mathcad показан на рисунке 1.3.

Рисунок 1.3 - Баланс мощностей в Mathcad

Решить систему уравнений (1.4) по законам Кирхгофа можно и вручную без системы Mathcad, используя для решения, например, метод Крамера, изучаемый в курсе математики.

После подстановки числовых значений система уравнений (1.4) имеет вид

Решим эту систему при помощи определителей. Главный определитель системы составляется из коэффициентов при неизвестных

Вспомогательные определители получаются из главного определителя заменой одного из столбцов на столбец свободных членов:

15