Материал: Практика решения задач по физике. Часть 5. Квантовая физика. Евсюков В.А., Показаньева С.А

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

−

найдем из

целые числа, неравные нулю. Постоянную

условия нормировки

∫

∫ϐ

=1:

∫

∫ϐ sin

sin

=1 ,

∫ (1− cos

)

∫ϐ(1 −cos

)

= 1,

ϐ =1

sin

Для собственных значений энергии имеем:

Энергия частицы минимальна при

соответствующая

Вероятность

нахождения

-функция

n .= n

= 1

ϐэнергией вϐобласти 0< <

частицы с наименьшей

⁄

sin

( ∫-ϐ sin

- √ =

⁄

⁄=

ϐ ∫ ⁄

⁄3

∫

sin

∫

(1− cos

)

sin

=0,195 = 19,5%.

5.133. Выполняя действия, аналогичные рассмотренным в задачах 5.131 и 5.132 , найдем собственные значения энергии и


собственные функции уравнения Шредингера. При							=ϐ=
Е	=	ħ	(n + n + n ) ,
=		sin		sin	sin	.
=		sin		sin	sin	.

Здесь n ,n ,n = целые числа, неравные нулю. Порядок энергетического уровня определяется индексом (номером) элемента возрастающей числовой последовательности

наименьших		значений суммы		квадратов квантовых чисел
n ,n ,n	, т.е.	Σ	n + n + n	).
			= (

Для первых шести энергетических уровней достаточно рассмотреть перестановки из трех чисел 1,2,3. Укажем эти перестановки, отвечающие минимальным значениям Σ и соответствующие последовательности энергетических уровней

Е ÷Е :

а) (111) →Σ =3→Е , (112) →Σ =6→Е , (122) →Σ =9→Е , (113) →Σ =11→Е , (222) →Σ =12→Е , (123) →Σ =14→Е .

б) Разность энергий 3-го и 4-го уровней

в) Разность энергийЕ6-

ħ =

ħ .

го уровня

Кратность вырождения

уровняЕ

равна

числу

перестановок

чисел 1,2,3, т.е.

=3! =6.

5.134.

Напишем

волновое

уравнение для частицы, находящейся в

одномерном потенциальном поле,

( - U(x)) .

(1)

− ħ

потенциальная

положим,

что

функция U( )

имеет конечный скачок в точке

= 0

(см. рис.).

Представим уравнение (1) в виде

)= −

(Е- U)

(2)

а затем его проинтегрируем по физически бесконечно малому

промежутку (-δ, δ). При этом получим:
	−	= −	∫ E − U Ψdx.
В виду конечности величин E, U(x),ħ			а также(	Ψ(x),)	(3)
В виду конечности величин E, U(x),ħ			а также(	Ψ(x),)	интеграл I в

правой части равенства (3) можно представить так:

(

−

)Ψdx =

E −

Ψ(−δ) ∙2δ+O(Δx)∙2δ,

где

O(Δx)

- бесконечно малая

более высокого порядка, чем δ.

Теперь очевидно,

что

Следовательно, левая часть

равенства (3)

стремится к нулю при

→0

это будет

lim

→

= 0.

производной

волновой

означать

равенство левой и

правой

( → ±0)

функции

окрестности

точки

, т.е. непрерывность

производной

в точке разрыва

потенциальной функции.

= 0

	U
	E	U0
	E
0	l	x

5.135. Для частицы, находящейся в одномерном потенциальном поле, показанном на рисунке, напишем волновые уравнения:

= 0 для 0 < < , (1)

(

−

)

= 0 для

. (2)

Введем обозначения

и перепишем

= √2

/ħ,

(

− )/

уравнения (1), (2):

= 0.

(4)

(3)

Общие решения уравнений (3) и

(4) имеют вид:

= 0.

По

(5)

(6)

смыслу

При определении коэффициентов

свойствами непрерывности и дифференцируе-

воспользуемся= 0.

( ) = {,

(

)} в точках.

= 0 и

мости:

волновой функции,

(0) = 0

( ) = ( )

′( ) = ′( )

При этом получим систему уравнений:

= −

sin

(7)

При делении (8) на2(7)

получим

= −

(8)

(9)

cos

Для дальнейшего анализа преобразуем

уравнение (9):

= −

/ .

(

)ħ

= ±

(10)

Сделаем

обозначения:

= ±

sin ,

M '1

M 3

M 'n

M 1

M 2

3 2

(n 1 )

Тогда уравнение	(10) примет	вид	определяют	(11). Корни
трансцендентного	уравнения	(11)		собственные
			= ±

значения и собственные волновые функции частицы. Нас интересует первое.

Некоторые сведения о корнях уравнения (11) получим, обратившись к графику. На рисунке приведены графики

зависимостей	и			. Точки пересечения лучей с
синусоидой	,=с учетом,		условия			соответствуют
синусоидой	,=с учетом,		= ±		< 0,
корням уравнения (11).					< 0,
Варьирование величины γ, т.е. характеризующей l и U0
поля, изменяет углы лучей					с осью ξ и, следовательно,
число корней уравнения и		соответствующие значения энергии
число корней уравнения и		,	= ±
частицы. При этом значимыми точками пересечений							являются
			84

точки, расположенные в четных четвертях круга. Из рисунка

видно,

что

правая

предельная

точка

В′

отвечает

самом

деле:

минимумам

l U0.

→

sin

∙

(

)

т. е.

(12)

Последняя

точка пересечения луча с синусоидой для

∙

заданных l, U

и E<U

будет иметь координату

−

Отсюда0

получаем0

(2 − 1)∙ .

(

) ħ

5.136. Согласно формулам (4) и (5) задачи

5.135 волновые

1 =

∙

− 1)

(

)

функции частицы

sin

для 0<

> .

Здесь

При

условиях

√2 Е ħ

2 (U −Е) ħ U Е

Волновая функция

( )

= =

/ =

Е /

U=/2

⁄4) ħ

принимает вид

при этом U

⁄4

Пусть и

- Вероятности нахождения частицы внутри и

вне

потенциальной ямы. Тогда

= ∫ ) =

sin2

= 2

( -

) .

Поскольку

вероятность

∫

sin

∫ (

sin

(

) =

3 ⁄4).

ВероятностьP

sin

(

⁄

∫

Отношение

+2)

⁄

∫

(

⁄ .

имеем:

Из

граничного условия

P P

(

)

(

)

Смотрите также:

kibalnik
Искусство переговоров как условие успешного бизнеса
Маркетинговое исследование предприятий Apple и Samsung
Мимесис Платона в контексте различных интерпретационных стратегий
Общие сведения по малогабаритным электромагнитным реле
Пищеварение
Преподаватель и студент, как равноправные субъекты образовательной программы
Психологическая подготовка дзюдоисток в тренировочном процессе
Рейтингове оцінювання та управління в економіці
Символическое пространство калининградского текста