Материал: Практика решения задач по физике. Часть 5. Квантовая физика. Евсюков В.А., Показаньева С.А

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

	e	Исследуя			стандартным образом уравнения кривых
R		( ;0)	и	\|	( ;0) \|	, можно убедиться, что графики этих

функций имеют вид, примерно изображенных на рис. 1 и 2.

5.123. Уравнение Шредингера для свободной частицы

имеет вид:	= ħ , т.е.	= - ħ · .
− ħ ·			(1)

Уравнение (1) легко решается путем разделения по переменным, представляя решение в виде ( , )= ( )Т( ) (2). Подставляя (2) в (1), получим:

, или

(3)

Равенство (3) возможно, когда обе части равенства равны одной и той же константе. Обозначим её через –k , а величине k присвоим смысл волнового числа. Получаем два уравнения:

ħ (ħ )

ТТ

(5).

ħk ⁄2

(4),

Выражение

представим так:

Здесь p- импульс, Е- энергия

частицы. С учетом этогоħзамечанияħ ħ

уравнение (5) напишем в виде

dt .

(6)

где

Т=e

Общее решение уравнения (4) есть		=		+ B			,
и B	– постоянные. Частное решение( )		уравнения				(6)
и B	– постоянные. Частное решение( )		e			e
(Е⁄ħ) .
Итак,	общее решение уравнения Шредингера (1)				имеем

вид

(

ħЕ

) +

(

ħЕ

) (7). Поскольку частица

движется,

одном направлении

оси

оставим в

(7)

одно

(ħ

)

то (

(

слагаемое и напишем

(

x. Если учесть, что

= ,

,5.124.e

Энергетический спектр частицы в заданных

условиях определяется выражением Е =

n (

= 1, 2,…). По

· Е

условию для электрона

=Δ

. Отсюда

. Для

Е ·

0,30

эВ?

Ширина

потенциальной

ямы

=2,5

·10

м.

5.125. Пси-функция для частицы в одномерной

потенциальной

яме

энергией

имеет

вид

(

sin

⁄32< x<22l⁄/33 равна

Вероятность

пребывания частицы в области

2l /3

2 x

P x

sin

l /3

l l /3

0,61.

5.126. Частица в одномерной потенциальной яме; пси-

функция

состояния

частицы

вещественная.

По

условию

плотность

вероятности

(1-

cos

где

коэффициент

пропорциональности. Отсюда

⁄

(

⁄

⁄ .

Уравнение Шредингера2 sin (в

заданных2) √2 sin(условиях2)

частицы

ħ Е

. Энергия

sin

=0 имеет решение

. Сравнивая, получаем

частицы

Е=

n =

·(

) =

(

) =

5.127. Пси-функция частицы в основном состоянии,

находясь в одномерной потенциальной яме, равна

По

условию

(так

обозначено

сборнике).

sin

этим условием.

Воспользуемся(

⁄

)

Прежде

всего

напишем:

sin

2 x

2 x0

k x

где

k=1,3,5,…

(четные

значения k исключаются, что соответствует положениям стенок

ямы. Возьмем

тогда

и в

точке

пси-функция

(

⁄2

(2⁄

sin

2⁄

, её

⁄2=

⁄2 .

)к = 1 ,

квадрат

(

)=(

)= .

2⁄

(

ħ )

Отсюда , а затем энергия частицы:

5.128.

Пси-функция частицы

основном

состоянии

sin

. Из

условия

x 0

x 1

получаем:

2 2

cos

l 3

2 2 / 2 .

Энергия

x 0

частицы Е =

⁄

(

) .

5.129. Волновая функция n -го состояния частицы в одномерной потенциальной яме, расположенной в области 0<x<l


имеет вид = 2⁄ sin				(1), где n= 1,2,… Здесь начальная
имеет вид = 2⁄ sin				(1), где n= 1,2,… Здесь начальная

точка отсчета =0 координаты определялась положением левой потенциальной стенки.

Располагая начальную точку отсчета =0 в середине ямы

зависимость

(1)

(

)

сдвигается

влево

на

. Тогда

зависимости( )

2⁄отsin[

( +

)

2⁄

sin

(

)

(2).

четности-нечетности

порядка

функцию

(2)

можно представить и так: для четных

= 2,4…

;

2⁄

5.130.

2⁄

cos

для нечетных

=1,3,5,…

sin

Энергетический спектр частицы в потенциальной

яме определяется выражением

=1,2,… (1). Отсюда

энергетического

уровня

(2).

имеем порядок

возьмем

Рассматривая

E и

n как

непрерывные

переменные,

дифференциалы от обеих частей равенства (1):

2 2

ndn.

ml2

Отсюда получаем:

ml2

m/2E

dE dE 2 2n

2 2

2mE

Для

электрона при

заданных

значениях

=1,0

см

плотность энергетических уровней

Е=1,0

эВ

· ,

1 Дж

=0,52

Дж

= 0,52

·1,6·10

=·

0,83

·10

1 эВ

· 10

1 эВ

5.131. В данном случае уравнение Шредингера имеет вид

=0 (1),

где

Е⁄ħ

(2). Поскольку стенки

потенциального ящика непроницаемы, волновая функция

(

)

на стенках обращается в ноль. Будем искать решение

уравнения

(1) в виде

(3)

Пси-функция

удовлетворяет

условию

видаsinк(3)sinк y

непрерывности на стенках

=0, =0.

На стенках ямы

-функция будет так же равна

нулю, если

принять

(4),

где

принимают значения

1,2,…

Подставляя (3) в уравнение (1) и сокращая на общие

множители,

получим

или

(

Отсюда имеем

(

) (5),

=1,2,…

Для

=Е возможные энергии

частицы

(

четырех

(4)

Значения

энергииЕ частицы

первых

уровнях

nна + n

Е , Е ,=Е , Е :

Е Е

5.132. Воспользуемся результатами решения предыдущей

задачи (5.131.). Заменяя

на a и

на

, выпишем выражение для

sin

- функции частицы

(1)

Смотрите также:

kibalnik
Искусство переговоров как условие успешного бизнеса
Маркетинговое исследование предприятий Apple и Samsung
Мимесис Платона в контексте различных интерпретационных стратегий
Общие сведения по малогабаритным электромагнитным реле
Пищеварение
Преподаватель и студент, как равноправные субъекты образовательной программы
Психологическая подготовка дзюдоисток в тренировочном процессе
Рейтингове оцінювання та управління в економіці
Символическое пространство калининградского текста