Материал: Практика решения задач по физике. Часть 5. Квантовая физика. Евсюков В.А., Показаньева С.А

2

=sin

=

2

sin

=

⁄

=

=

√2

⁄=

.√2

⁄

(√2

)

⁄

=

⁄

этого соотношения

= 1+

и =(1+

) .

С учетом

достоверного

события

=1.

Далее

учтем

вероятность

P ⁄P

3

⁄2

P

3

⁄2 P

Отсюда получаем

= 2/ +4) = 0,5 и

= 1-

=0,85. P +P

5.137 ВолновоеP (3уравнение частицыP P

находящейся

в

заданной потенциальной яме, имеет вид

/

+

= 0, где

=

2

Е

/

ħ

,

общее

решение которого

=

+

B

Вероятности нахождения частицы в каждом из состояний

и

B

равны вследствие

симметрии конечной

одномерной

ямы,

=

B

и

=

(

+

)=

2

cos

.

Пси-функция

= ½,

(

=

cos

= ( +2n), n= 0, 1, 2,…

(0)=2

,

)=2

⁄3

2

. По условиям

(

)/

(0)= ½ . Отсюда

cos

+

2

Е

ħ

(

ħ

( +2n)

.+2n)

Получаем :

=

/

=

/

Е

=

(

ħ

+.

2n)

Для основного состояния частицы (n=0)

энергия

5.138. Частица помещена в сферически-симметричную

потенциальную яму

(r)=0 при r <

и (

)=

. В сферической

системе

координат,Uкогда

не

зависит

от

, волновое

r

U r

∞

= 0 ,

где

вид

(

)

+

уравнение

частицы

имеет

U

и

= 0 (1)r

2

=Е

ħ

=

/

, или

+

+

. Прибегнем к замене

(r)

R(

r

)/

r

и

представим

уравнение

через

переменную

R.

=

(R/r) = -

R +

R -

+

-=0 (2)+.

R. Подставляя в уравнение, =(1), будем иметь-

+

+

Отсюда R=

+ B

и

=

(

+ B

).

В

точке r=0

функция

.

будет

иметь конечное значение, если

функции

=

/

−

sinαr

+В=0, т.е. B=- и

=

(

) =

. Модуль

-

постоянную

2:

sin αr r

Нормируя волновую функцию, найдем

∫

4

r

dr

=1 , 16

∫

sin

r dr

=1

=

.

Нормированная( )

волновая функция имеет общий вид

=

(3)

условию· .

Удовлетворим

(3)

граничному

(

)=0.

Отсюда

ħ sin

(4);r

r

=n

,

n= 1,2,… ,

r

2

/

ħ

= n

получим:

=0

r

=

r)

=

· sin

(5).

ħ

Для=основного состояния (n=1)· sin(

=

.

сферическом поле радиуса

и

Вероятность нахождения частиц в· sin

=

.

при этом

dr

= 4

dP

= 4

r

dr

толщиной

для n=1

=

4

, плотность вероятностиr

Наиболее dP dr

r

r

·

· sin

· sin

от

вероятное расстояние частицы в основном состоянии

= 0

=

=

.

cos

центра ямы найдем из условия

(

)=0, т.е.

(1-

) =0 :

sin

в

в

rв

r ⁄2

=

r r=в

= 0,5P(50%)r.

rв

∫

в

(

)dr

∫

⁄

(1 −cos )

области

<

равна (0<

<

) =

=

dr

·

2 Е/ħ

=0 (1)

и

ħ Е U

=0. (2)

Здесь

=

,

+

=

2 (U − Е)

/

+. Для сферически-

,

,

,, ,

<

симметричного

поля

пси-функция

не

зависит

от

,

замене

следовательно,

оператор Лапласа

=

(r

). При

и

(r)=

(r)/r уравнения (1) и (2) получаем d

dr

+

=0 (3)

и

d

+

=0 (4) (см. решение 5.138).

Общие

решения уравнений (3) и (4):

=

+

,

=

dr

функции

=(

+

. Соответствующие волновые

B

r

B

+

B

)/

r

(5),

= (

+

B

)/

(6). Из условия

конечности волновой функции

( ) в точке =0 и функции

( )

=

r

→

∞

следует

+

B

=0 и

=0.r

Тогда

r = (

−

r

при

)/r

=

sindr

,

=

.

Те

же

состояния частицы

/r (8), где

и

- вещественные

=

sindr

/

r

(7)

,

определяются

волновыми

функциями

BИз условий

постоянные.

=

непрерывности и гладкости функций для

|

B

)

|=

-

(

sindr)

B

(10).

(9), r

(

(r )

(

)=

cos

,

=

получим:

=

r

r

r

− sinr /r

88

B

+1⁄r

Совместно)

(9)

и (10) дают=:

-

(

cos

r

−sinr=/r-

)

=

(11)- (.

+

1⁄r

В sin

r

cos

r

sin

r

tg

r

⁄

sin

r

:

=

=

.

равенстве (11) перейдем к непрерывной функции

С

sin

r

±

±

и

имеем

учетом

выражений

для

Е

(

Е)

=

(12).

sin

r = ±

r

r

( ħ

+

)

±

r

ħ ⁄2

r

U

ħ

r =

4

ħЕ

r

=

Е =

ħ

. На основании (12)

получаем энергетические уровни частицы при

ħ ⁄=2

ħ

≤

ħ

(см. задачу 5.138), т.е. при

≥

. Для

r

.U

одномерном потенциальном поле

.

5.141. Частица в

r

U

Е r

U

( ) = .

Пси-функция основного

состояния

частицы

Требуется найти постоянную

и энергию

частицы.

Прежде всего,

( ) =

Шрёдингера

+

−

= 0. Производные

- функции:

= −2

,

22

= 2 (2

− 1)

.

′

′′

2

− 2

Подставляя

произ-

водные

и

в уравнение, получим:(4

.

том

Это равенство возможно для всякого

случае, если

− ∞)

в +

− 2

= 0

−

= 0

−2

= 0

4

и, следовательно,

[0,

)

. Отсюда имеем:

=

√

,

=

=

=

,

.

.

Обозначая

, представляем:

=

/2