Материал: Практика решения задач по физике. Часть 5. Квантовая физика. Евсюков В.А., Показаньева С.А

ческий потенциал

. Среднее значение потенциала элек-

трона атома водорода=в−основном/

состоянии

<

>=

∞

4

= 4

∞

−

⁄

=

⁄

= −4

∞

=

+

⁄

∞

= −

.

∫

/

5.154. <

>= −

, где,

- первый боровский радиус.

Итак,

Рассматривается потенциальный барьер, вид кото-

рого показан на рисунке. Частица, имея

энергию

,

движется

слева

направо.

Требуется найти коэффициент отражения

барьера при

а),

и

глубину

проникновения

частиц в область

при

>

> 0

б).

а)

>

.

Уравнения Шрёдингера< 0

для участков

<

0/

и

> 0

:

(1)

(2),

где

,

+ +

= 0,

.+

= 0

= √2

=

2 ( −

)/

,

,

> 0

Решения

уравнений

(1)

и

(2):

=

+

(3),

=

+

(4). Слагаемые (3)

и (4)

соответствуют падающей и проходящей волн,

-

отражённой,

барьером волне; на участке

Из

имеется

только

проходящая

волна

и

поэтому

.

> 0

:

непрерывности функций

,

и их

производных в точке

′

= 0

′

= 0

(0) = (0) + =

(5),

(0) =

(0)

+

квадратов амплитуд, отражённой и падающей волн

=

. Из

систем равенств (5) и (6)

⁄

=

, тогда

=

(

)

.

96

(

)

точке

пропорционально

,

т.е.

.

Глубину> 0проникновения частиц| | =

в

область

( )

определим

=

(0)

расстоянием

,

на котором плотность

вероятности убывает в

> 0

раз, т.е. когда

= , или

= 1/2

= /

8

(

−

)

.

5.155.

Коэффициент

прозрачности

прямоугольного

потенциального барьера

≈

{−

∫

2

(

−

)

} =

=

−

2 ( − )

,

= =

.

5.156. Для потенциального барьера, показанного на

рисунке,

:

зависимость

.

имеет

вид

(

) =

и

[0,

)

,

По

=

на

промежутке

, точки пересечения( )

=

=

=

оценочной

формуле

прозрачности

потенциального

барьера

(

)

имеем

exp −

∫

2

−

=

( − ) .

=

−

∫ ⁄

−

=

−

√

5.157. Вероятность прохождения частицы сквозь

потенциальный барьер

( ) =

(1−

⁄

) для

<

2

=

{−

2 [ (1− ⁄ ) − ] } =

=

−

∫

(

)

–

.

(1)

97

Точки пересечения кривых

=

( ) и

=

|

| =

. Введём

обозначение

учтём

чётность

подынтегральной

функции и симметричность= ,

промежутка интегрирования.

Тогда

выражение для

примет вид

(2)

−

∫

√

−

.

Интеграл вычислим путём замены

=

sin

:

=

cos

, (3)

∫ √

−

=

∫ cos

=

.

Подставляя (3) в (2), получим

−

=

−

( − )

2 /

числами и

- =

равна

св

= =

) ,

(1)

где

- терм.

состояния,

(

постоянная Ридберга и - ридберговская поправка.

Из равенства (1) имеем выражение для поправки

св

(2)

Для заданных состояний

и

атома лития

энергии связи 5,39

=

− .

и 3, 54

эВ и,

следовательно, соответствующие поправки

2

2

⁄5,39

=

0,66∙10

∙2,07∙10

−2 = −0,41;

=

0,66∙10 ∙2,07∙10

⁄3,54

−

2 = −0,04.

с

=

,

=

, поскольку эти числа для остова атома

электрона, т.е.

−1

электронами порознь равны нулю. На рисунке стрелками

заданного

состояния

в

другое,

а

именно:

,

обусловленного возбуждением атома

и

удалением3

электрона

→ 3

вообще.

Из рисунка видно, что энергия связи валентного электрона

атома натрия в состоянии 3

равна

−

=

,

где

- энергия связи электрона в состоянии

,

-

первый

потенциал возбуждения атома. Энергия

связи

электрона в

3

состоянии

равна

=поправка= (

=

−

.

Отсюда ридберговская

)

,

∙

∙ ,

∙

.

=

/( −

) −3 =

,

,

−3 = −0,88

5.160. Рассматриваются две симметричные линии спектра

атома лития (Li): головная резкой серии

2 с/ 1

R

R

(2 p)2

(3 s)2

(1) и коротковолновая той же серии

2 c

R

(2).

(2 p)2

2

Eсв

R

(3)

(2 S)2

Из

(1)

и

(2)

имеем:

2 с

2 с

R

2 c( 1 2 )

(3 S)2

2

2

1

1

R

1x2R

(3 S)2 3 S

1 2R

(4)

(3 S)2

2 c

2 c

Перепишем (3) в виде 2 S

(5). Почленно вычтем (5)

hR/ Ecв

из (4): I

1 2 R

R

R

1

2 R

1 .

2 c

Eсв

Eсв

2 c

E R/(

1 2R

1)2 .

св

2 c

два

кванта

энергии,

характеризуемые

длинами волн:

2 с

R

R

,

2 c

R

R

, где ридберговские

2

(2 s)2

(2 p)2

1

(2 p)2

(3 s)2