Материал: Практика решения задач по физике. Часть 5. Квантовая физика. Евсюков В.А., Показаньева С.А

равенство возможно,

если

+

= 0 и

−

= 0. Отсюда

получаем

,

.

5.144. Пси= -функция= −электрона= −атома

водорода имеет вид

( ) = (1+

)

(1)

. Требуется найти энергию электрона.

Как видно,

волновая функция не зависит от координат и

равенством:

+

+

= 0 (2) . Подставляя

(1) в (2), получим:

−

+

− 4 +

+

+

(1+ ) = 0

−4 +

+.

= − − +

−

(0,

)

,

−

+

( )

Равенство

( )

для

∞

всякого

и

−4.

Из+

= 0

−

возможно при условиях:

+

= 0.

+

= 0

системы равенств

находим

= −

Сравнивая полученный результат с известным

выражением

для

энергии

электрона

атома

водорода

−

состояния

,

видим, что

энергия

электрона заданного

=

соответствует уровню

.

5.145. Плотность

вероятности нахождения электрона в сфери-

= 2

ческом слое радиуса

и толщины

атома водородав основном сос-

тоянии

.

Наиболее вероятное удаление электрона от

ядра найдём/

=из4

условия

=в0

,

т.е.

/

. Отсюда

получаем:

.

Пронормируем

волновую

2−

= 0

(

) = 0

функцию:

∞

=

=

∫

∞

/

= 1

.

Применив

∫

| | 4

= 1

914

ногоинтеграла:∫∞

/

= −(

+

+

)

/

∞ =

⁄4.

Тогда

4

∙

= 1

= 1/

,

волновая функция при этом

получает вид

=

/

. Вероятность нахождения электрона в

области

< в =

равна ⁄ = ∫

∙4

= 4 . ∙

∫

⁄

=

= −

+

+

= 1− 5/

= 0,32

( ) =

5.146. Среднее расстояние электрона от ядра в состоянии

⁄

атомаводорода<

>= ∫∞

∙4

=4

∫∞

⁄ .

Порезультатам∞

предыдущей задачи5.145

=

, в =

. Несобственный∞

интеграл∫

⁄

= −

+

+

+

⁄

=

.

Следовательно, <

>= 4

∙

∙

= (3/2)

,

отношение

=

= 3 .

в

5.147. Определим

2классическую границуполяатомаводорода

сферой

радиуса

,

где

-

первый

боровский радиус, т.е.

расстоянием

максимального сближения двух атомов, при котором

= 2

денияэлектронавнутрисферы радиуса

1

= ∫( ) 4

=

1

1

| =

= 4

=− 4

2

+

2

+

4

= −4

+

+

−

.

Для основного состояния атома водорода

= 1/ , постоянная

=.

1/

(см. 5.146)и, следовательно,

= 1− 4(3+

1

4

)

= 1− 13

92

Вероятность нахождения электрона вне сферы радиуса

= 2

равна

= 1−

= 13

= 13/

.

5.148. Нормировочный

коэффициент

функции

-

состояния

электрона атома

водорода

(см.

5.146),

= 1/

1

а) Среднее

= (1/

)

/ .

следовательно

значение модуля кулоновской силы

< >= ∫( )

4

= 4

∙

∫∞

⁄

=

−

⁄ ∞ =

.

б) Среднее

значение

потенциальной

энергии

взаимодействия

электрона с ядром

вз

(

)

∞

⁄

<

−

4

= −

∫

=

>= ∫

= −

(−

−

)

⁄

∞

= −

,

= 1/4 .

(-

5.149.

Радиальная

часть

волновой

функции

) =

⁄

2

- состояния электрона атома водорода, где

равна

=

4

= 4

⁄

. Величину в найдём из

условия,

= 0

т.е.

(

/

) = 0

.

Отсюда

<

∞>

получаем

в

;

=

∞

расстояние

⁄

б) среднее

= 4

= = −4 ( ( ) +

< > )

∫ 4

= 4 ∫

120

/

= 480

∞

функцию

состояния, получим:

∫)

∙4

∞

= 1,

Нормируя

∞

/

4

∫

/

=−4

(

+24

=

= 96

= 1В

=

. Среднее( )

расстояние

<

>= 5

.

5.150.

сферически-симметричном

потенциальном

поле

находится частица в состоянии

= √∞

∙

. Среднее∞расстояние

частицыотсиловогоцентра

<

∙4

=

∫

=

/

∞

>= ∫

⁄

= −

(5.151.+

Потенциальное) = 2.

поле

и в нём частица в

состоянии

среднее значение

.

=

(−

)

(1).Найти( ) =

Шрёдингера

Пси-функция (1) должна удовлетворять уравнению

<

>

получим:

/

+

(

−

)

= 0

(2)., Подставляят.е.

(1)

в

(2),

(3).

2 (2

− 1) = (2 / )( −

)

− = (

−2 )

Равенство (3)

имеет место для всякого

∞

)

при

−

= 0

и

. Отсюда имеем:

⁄

(0,

−2 = 0

=

,

(4)

= /2 .

осцилляторасредниезначения<

/2>=< > и<

/2 > +<

>= .

Отсюда

< >=

/2 =

/2

/2 =

/8

.

(5)

Теперь найдём величину

только с волновой точки зрения,

не прибегая к

классической модели гармонического осциллятора.

< >

Напишем общее нормировочное условие и выражение

для

∞

,

(6)

среднего значения потенциальной∞

энергии∞ : 1=

∫ .

(7)

<

>= ∫

=

∫

94

Поделив (7) на (6), получим

∫∞

= ∫∞

.

(8)

Представим правый интеграл в равенстве (8) в виде

∫∞

∞

∞= −

∫∞ (

∞ ) =

−

{

− ∫

} =

∫

∞

.

(9)

Подставляя (9), тв.е(8).

на интеграл

, получим

и сокращая. Учитывая (4),∫находим

<

>/

= 1/4

<

>=

/4

<

>=

=

∙

=

/8

.

(10)

Результат (10) совпадает с (5).

/ +

5.152.

Задано

состояние

частицы

импульса

.

.

Найти средние значения координаты

⁄

и=

(−

)

∞

∞

интегри-

а)

∞

∞

<

>

>= ∫

=

∫

, поскольку<

>

руемая<

= 0

функция по симметричному промежутку нечётная.

б) <

∞

>= ∫∞∞

−

= − ∫∞∞

=

= − ∫∞

−

−

−

+

−

+

=

∞

= − ∫ ∞

∞−

=

∞

+

⁄

∫

∞

.

⁄

⁄

∫

∞

+

∫∞ ∞

=

=∞2

∞

=

⁄

(1)

Нормировка:

∫∞

∫

∞

∞

∞

⁄

⁄

⁄

= 2

∫

=1 ∫

= 1/2 .

(2)

Подставляя (2) в (1), получим

<

>=

.

5.153.

Из

условия

нормировки

волновой

функции

∞

4

= 4

∞

⁄

= 1

= 1/

находим

.

Электрон,

∫

∫

от

находясь на расстоянии

ядра, создаёт в его центре электри-

95