Материал: Практика решения задач по физике. Часть 5. Квантовая физика. Евсюков В.А., Показаньева С.А

= −

ħ

+

= 0

=

ħ

=

0.66 ∙10

м =

.

( ) =

9∙10

∙0.91∙10

5,4∙10 м = 54 нм

=

ħ

−

= −

=

5.114. Ширину

= −13,6 эВ.

изображения b’ щели на экране определим

пределах угла 2y, где

. Пусть Δpy

есть поперечная

неопределённость

импульса атомов, прошедших через щель,

sin

≈

/2ℓ

,

откуда

тогда

sin

≈ Δp /и

Δy.≈ b

. Полагая

ħ

, где b – ширина щели, будем

иметь

Δp

≈ ħ/

(1)sin.

≈

Получаем

/2ℓ ≈

ħ

ħℓ

следует

Далее заметим, что размер изображения на

экране не

может быть меньше следа пучка атомов, т.е.

,

′

=

.

≈

Тогда из равенства (1), которое получает вид

находим

′ ≈ √2ħℓ

.

В

для минимальной

= 600 м/с

ℓ = 1,0 м

и

≈ 1,67∙10

кг

.

ширины изображения щели

имеем

вероятностим = 0,014 ммраспределения= 14 мкм

5.115.′ ≈Плотность1,4∙10

непрерывной

случайной величины x на промежутки [0,a] имеет вид

(

) =

,

где A и a – постоянные. Проинтегрируем функцию

:= ∫

=

= 1 ∫

= 1 => 2/ ; ( ) = 2 /

В(точке)

( ) = 2/

.

;

и

:

.

; .

(

)

,

Средние значение

= ∫ ( ) =

∫

= 2 /3 =

∫

=

5.116. Плотность вероятности распределения величины

в интервале (

) имеет вид

вне интервала

= 0.

∫

( )

=

∫

=

(

√

)

71

√

( )

Нормировка 0,

(

) =

√= 1 дает

и

это( ) =

√

(1). Наиболее вероятное значение величины

,

как

√

нв

=

. Среднее значение величины

:

следует из (1), равно

< > = ∫

( ) =

( √

)

∫ √

=

Вероятность

(0<

<

) =

(

)

=

=

= √

=

∫

∫

√

√

=0,35.

√

5.117. Плотность вероятности распределения величины

= 0. Из

0,

) имеет вид

( ) =

( − )

. Для

[0, ]

в интервале (

нормировки

(

)

=1 получаем

и,

∫

вероятное

значение

следовательно,

( .−Найти)

=

величины

найдем( из) =условия

=0,

т.е.

=0;

,

[

( − )]

нв

(

)=

. Средние значения <

> и <

>:

< > = ∫

( ) =

∫

( − ) =

,

<

> =

∫

( −

)

=

.

двух случайных величин (координат)

и y.

Это событие можно

охарактеризовать вероятностью dP g x,

ds ,

где (

,y)

плотность вероятности осуществления события( y)

,y), dSg dxdy.

В случае центральной симметрии

и (dP=

.

Вероятность попадания частицы на

поверхность кольца радиуса

=

( )

и ширины dr равна

∙2

= 2

. При этом

плотность вероятности

зарегистрировать частицу на расстоянии

=

( )

( )

72

от

центра О

равна

=2

(заметьте, что вероятность

попадания частицы на линию окружности( )

равна нулю).

По условию

=

. Наиболее вероятное расстояние

можно зарегистрировать частицу, найдем

до центра, на котором( )

(1 −

)

из уравнения

(

)=0,

т.е.

[

]=0. Отсюда получаем

нормировки:

нв

=

. Постоянную·

найдем из

(1 −

)

=

(

)

= 2

=1;

∫

2

∫

(1 − )

∫

=1 =

.

Функция

получает вид

Среднее расстояние

от центра,(на)

котором

концентрируется поток частиц: <

> =

1− .

∫

= ∫

∙2 ∙ ( ) =

∫

1−

=

.

5.119. Вероятность попадания частицы на поверхность

кольца радиуса

и ширины

плотность

. (см. решение

задачи 5.118). Следовательно,

вероятности

события

= 2

( )

Здесь

(, ) =

,0 ≤

<для

и

=0( )для

(

(1 −

) равна

= 2

. По условию функция

)

<

( )

≥

> 0

–

постоянные.

Наиболее вероятное расстояние от

центра распределения

частиц

при попадании

их

на

плоскость

найдем из

условия

·

Постоянную

(1 −

)

н.в=

√

(

)=0, т.е

[

]=0.Получаем

.

найдем

нормировкой вероятности

на

∫

)

= 1 ∫ 2

( )

=

единицу по кругу радиуса

:

(

73

1

2

∫ (1 − ) = 1

.

=

, при этом функция

<( )>:

( ) =

(1−

)

получает вид

Находим среднее значение

< >= ∫

= ∫

∙2 ∙ ( ) =

∫

1−

=

2

= = .

2

1, т.е.

половину

периода,

Следовательно,

cT

c

.

Согласно уравнению

x acos t

dx a sin tdt.

T

Отсюда

dt

dx

.

При

движении

частицы

от

точки

a sin t

x1 a

до

точки

x2

a

sin t 0.

Поэтому

dt

dx

dx

dx

,

x a.

Получаем:

a

sin t

a

1 cos2

t

a2

x2

==

√

√

=

∙

=

.

Плотность

вероятности

√

.

5.121. Согласно идее де-

Бройля потоку частиц, также как и

отдельной

частице,

можно

сопоставить плоскую волну. На

74

интерференцией волн, приходящих от щелей.

cos(

− )

=

. Квадраты амплитуд

=

и

Пусть уравнения этих волн имеют вид

cos( −

)

и

волн

волны,

при наложении двух когерентных волн I=

+

+2

черезI I

где

δ

-

разность фаз интерферирующих волнI

, илиI

cosδ

N

+

N

+2

cosδ

. Нам

известны

N

и

отношение

=

.

число

частиц

N=

эл

N

, N

η N

N

с

η

= 900

в

а) Поскольку

~

=

. Для

= 100

эл в

и

=3 ,

N

б) сПри.

наблюдении

в

точке M

интерференционного

N=

+

,

+2

δ ==

2

+

cosδ+2

=

максимума

когда

и

=1

интенсивность

N

Nэл

в

N

η N

η N

(1+

η)

N в) В

случаес .

минимума в точке M

δ =

,

cosδ

=-1 и

=1600

(1 − η) N

эл

в

интенсивность N=

= 400

5.122.

с .

(

;0)

Волновая функция частицы в момент t=0 имеет вид

=

e

p(-

⁄4

=B

,

где

B=

,

и

выделим

реальную часть

R

=

Be

,

т.е. R

e

=⁄

⁄

.

представим

в

виде

cos

e

e

cos

Квадрат

=

модуля e

.

|

|

=

=

e

=

B

e

⁄

B e

псифункции

75